Графическое решение неравенств, системы совокупностей неравенств с двумя переменными. Графическое решение уравнений, неравенств Решение уравнений и неравенств графически
Слайд 2
Математика – наука молодых. Иначе и быть не может. Занятия математикой – это такая гимнастика ума, для которой нужны вся гибкость и вся выносливость молодости. Норберт Винер (1894-1964), американский ученый
Слайд 3
отношение между числами a и b (математическими выражениями), соединенное знаками Неравенство -
Слайд 4
Историческая справка Задачи на доказательство равенств и неравенств возникли в глубокой древности. Для обозначения знаков равенства и неравенства использовали специальные слова или их сокращения. IV век до н.э., Евклид, V книга «Начал»: если a, b, c, d – положительные числа и a – наибольшее число в пропорции a/b=c/d, то выполняется неравенство a+d=b+c. III век, основной труд Паппа Александрийского «Математическое собрание»: если a, b, c, d – положительные числа и a/b>c/d, то выполняется неравенство ad>bc. Более 2000 лет до н.э. было известно неравенство Обращается в верное равенство при a=b.
Слайд 5
Современные специальные знаки 1557 год. Введен знак равенства = английским математиком Р.Рикордом. Его мотив: «Никакие два предмета не могут быть более равными, чем два параллельных отрезка». 1631 год. Введены знаки > и
Слайд 6
Виды неравенств С переменной (одной или несколькими) Строгие Нестрогие С модулем С параметром Нестандартные Системы Совокупности Числовые Простые Двойные Кратные Целые алгебраические: -линейные -квадратные -высших степеней Дробно-рациональные Иррациональные Тригонометрические Показательные Логарифмические Смешанного типа
Слайд 7
Методы решения неравенств Графический Основные Специальные Функционально- графический Использование свойств неравенств Переход к равносильным системам Переход к равносильным совокупностям Замена переменной Метод интервалов (в том числе обобщенный) Алгебраические Метод расщепления для нестрогих неравенств
Слайд 8
называется значение переменной, которое при подстановке обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство – найти все его решения или доказать, что их нет. Два неравенства называются равносильными, если все решения каждого являются решениями другого неравенства или оба неравенства решений не имеют. Неравенства Решением неравенства с одной переменной
Слайд 9
Охарактеризуйте неравенства. Решите устно 3)(x – 2)(x + 3) 0
Слайд 10
Графический метод
Решите графически неравенство 1) Строим график 2) Строим график в той же системе координат. 3) Находим абсциссы точек пересечения графиков (значения берутся приближенно, точность проверяем подстановкой). 4) Определяем по графику решения данного неравенства. 5) Записываем ответ.
Слайд 11
Функционально-графический метод решения неравенства f(x)
Слайд 12
Функционально-графический метод Решите неравенство: 3)Уравнение f(x)=g(x) имеет не более одногокорня. Решение. 4)Подбором находим, что х=2. II.Схематически изобразим на числовой оси Ох графики функций f(x)и g(x), проходящиечерез точку х=2. III.Определим решения и запишем ответ. Ответ. х -7 не определена 2
Слайд 13
Решите неравенства:
Слайд 14
Построить графики функции ЕГЭ-9, 2008 год
Слайд 15
y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 1) y=|x| 2) y=|x|-1 3) y=||x|-1| 4) y=||x|-1|-1 5) y=|||x|-1|-1| 6) y=|||x|-1|-1|-1 y=||||x|-1|-1|-1|
Слайд 16
y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 Определите число промежутков решений неравенства для каждого значения параметра a
Слайд 17
Построить график функции ЕГЭ-9, 2008 год
Слайд 18
Слайд 19
Л.А.Кустова
учитель математики
г.Воронеж, МБОУ лицей №5
Проект
«Преимущества графического способа решения уравнений и неравенств».
Класс:
7-11
Предмет:
Математика
Задача исследования:
Выяснить преимущества графического способа решения уравнений и неравенств .
Гипотеза:
Некоторые уравнения и неравенства проще и эстетичнее решать графическим способом.
Этапы исследования:
Сравнить аналитический и графический способ решения уравнений и неравенств .
Ознакомиться в каких случаях графический способ имеет преимущества.
Рассмотреть решение уравнений с модулем и параметром.
Результаты исследования:
1.Красота математики это философская проблема.
2.При решении некоторых уравнений и неравенств графический способ решения наиболее практичен и привлекателен .
3. Применить привлекательность математики в школе можно с помощью графического способа решения уравнений и неравенств.
«Науки математические с самой глубокой древности обращали на себя особенное внимание,
в настоящее время они получили еще больше интереса по влиянию своему на искусство и промышленность».
Пафнутий Львович Чебышев.
Начиная с 7 класса рассматриваются различные способы решения уравнений и неравенств, в том числе графический. Кто считает, что математика сухая наука,думаю, меняют свое мнения когда видят как красиво можно решить некоторые виды уравнений и неравенств. Приведу несколько примеров:
1).Решить уравнение: = .
Можно решать аналитически, то есть, возводить обе части уравнения в третью степень и так далее.
Графический способ удобен для данного уравнения, если требуется просто указать количество решений.
Подобные задания часто встречаются при решении блока «геометрия» ОГЭ 9 класса.
2).Решить уравнение с параметром:
││ x │- 4│= a
Не самый сложный пример, но если решать аналитически,придется дважды раскрывать скобки модуля, и для каждого случая рассматривать возможные значения параметра. Графически все очень просто. Рисуем графики функций и видим, что:
Источники:
Компьютерная программа Advanced Grapher .
Пусть f(x,y) и g(x, y) - два выражения с переменными х и у и областью определения Х . Тогда неравенства вида f(x, y) > g(x, y) или f(x, y) < g(x, y) называется неравенством с двумя переменными .
Значение переменных х, у из множества Х , при которых неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением и обозначается (x, y) . Решить неравенство - это значит найти множество таких пар.
Если каждой паре чисел (x, y) из множества решений неравенства поставить в соответствие точку М(x, y) , получим множество точек на плоскости, задаваемое этим неравенством. Его называют графиком данного неравенства . График неравенства обычно является областью на плоскости.
Чтобы изобразить множество решений неравенства f(x, y) > g(x, y) , поступают следующим образом. Сначала заменяют знак неравенства знаком равенства и находят линию, имеющую уравнение f(x,y) = g(x,y) . Эта линия делит плоскость на несколько частей. После этого достаточно взять в каждой части по одной точке и проверить, выполняется ли в этой точке неравенство f(x, y) > g(x, y) . Если оно выполняется в этой точке, то оно будет выполняться и во всей части, где лежит эта точка. Объединяя такие части, получаем множество решений.
Задача. y > x .
Решение. Сначала заменим знак неравенства знаком равенства и построим в прямоугольной системе координат линию, имеющую уравнение y = x .
Эта линия делит плоскость на две части. После этого возьмем в каждой части по одной точке и проверим, выполняется ли в этой точке неравенство y > x .
Задача.
Решить графически неравенство
х
2 + у
2 £ 25.
|
Решение.
Сначала заменим знак неравенства знаком равенства и проведем линию х
2 + у
2 = 25. Это окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Полученная окружность делит плоскость на две части. Проверяя выполнимость неравенства х
2 + у
2 £ 25 в каждой части, получаем, что графиком является множество точек окружности и части плоскости внутри окружности. Пусть даны два неравенства f 1(x, y) > g 1(x, y) и f 2(x, y) > g 2(x, y) .
Системы совокупностей неравенств с двумя переменными
Система неравенств представляет собой конъюнкцию этих неравенств. Решением системы является всякое значение (x, y) , которое обращает каждое из неравенств в истинное числовое неравенство. Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих данную систему.
Совокупность неравенств представляет собой дизъюнкцию этих неравенств. Решением совокупности является всякое значение (x, y) , которое обращает в истинное числовое неравенство хотя бы одно из неравенств совокупности. Множество решений совокупности есть объединение множеств решений неравенств, образующих совокупность.
Задача.
Решить графически систему неравенств 
Решение.
у = х
и х
2 + у
2 = 25. Решаем каждое неравенство системы.
Графиком системы будет множество точек плоскости, являющихся пересечением (двойная штриховка) множеств решений первого и второго неравенств.
Задача.
Решить графически совокупность неравенств 
Упражнения для самостоятельной работы
1. Решите графически неравенства: а) у > 2x ; б) у < 2x + 3;
в) x 2 + y 2 > 9; г) x 2 + y 2 £ 4.
2. Решите графически системы неравенств:
а) в) 
учащийся 10 класса Котовчихин Юрий
Уравнения с модулями ученики начинают изучать уже с 6-го класса, они изучают стандартный метод решения с помощью раскрытия модулей на промежутках знакопостоянства подмодульных выражений. Я выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования, задачи с модулем вызывают большие трудности у учащихся. В школьной программе встречаются задания, содержащие модуль как задания повышенной сложности и на экзаменах, следовательно, мы должны быть готовы к встречи с таким заданием.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Муниципальное образовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа №5
Исследовательская работа на тему:
« Алгебраическое и графическое решение уравнений и неравенств, содержащих модуль »
Работу выполнил:
учащийся 10 класса
Котовчихин Юрий
Руководитель:
Преподаватель математики
Шанта Н.П.
Урюпинск
1.Введение………………………………………………………….3
2.Понятия и определения………………………………………….5
3.Доказательство теорем…………………………………………..6
4.Способы решение уравнений, содержащих модуль…………...7
4.1.Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами…………………………………………………………12
4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений…………………………………………………………..14
4.3.Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины.
………………………………………………………………………15
4.4.Решение нестандартных уравнения, содержащие модуль….16
5.Заключение……………………………………………………….17
6.Список использованной литературы……………………………18
Цель работы: уравнения с модулями ученики начинают изучать уже с 6-го класса, они изучают стандартный метод решения с помощью раскрытия модулей на промежутках знакопостоянства подмодульных выражений. Я выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования, задачи с модулем вызывают большие трудности у учащихся. В школьной программе встречаются задания, содержащие модуль как задания повышенной сложности и на экзаменах, следовательно, мы должны быть готовы к встречи с таким заданием.
1. Введение:
Слово "модуль" произошло от латинского слова "modulus", что в переводе означает "мера". Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.
В архитектуре -это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.
В технике -это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и.т.п.
Модуль объемного сжатия (в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.
2. Понятия и определения
Модуль – абсолютное значение – действительного числа А обозначается |A|.
Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы:
Уравнение-это равенство, содержащее переменные.
Уравнение с модулем -это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины(под знаком модуля).
Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.
3.Доказательство теорем
Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел a или -a.
Доказательство
1. Если число a положительно, то -a отрицательно, т. е. -a
Например, число 5 положительно, тогда -5 - отрицательно и -5
В этом случае |a| = a, т. е. |a| совпадает с большим из двух чисел a и - a.
2. Если a отрицательно, тогда -a положительно и a
Следствие. Из теоремы следует, что |-a| = |a|.
В самом деле, как, так и равны большему из чисел -a и a, а значит равны между собой.
Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из А 2 .
В самом деле, если то, по определению модуля числа, будем иметь lАl>0 С другой стороны, при А>0 значит |a| = √A 2
Если a 2
Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять |a| на
Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.
Если то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны.
Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0
4.Способы решения уравнений, содержащих модуль.
Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основывается на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Мы решим несколько примеров разными способами и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений, содержащих модуль.
Пример 1. Решим аналитически и графически уравнение |x + 2| = 1.
Решение
Аналитическое решение
1-й способ
Рассуждать будем, исходя из определения модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, т. е. x + 2 ≥0 , тогда оно "выйдет" из под знака модуля со знаком "плюс" и уравнение примет вид: x + 2 = 1. Если значения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, оно будет равно: или x + 2=-1
Таким образом, получаем, либо x + 2 = 1, либо x + 2 = -1. Решая полученные уравнения, находим: Х+2=1 или Х+2+-1
Х=-1 Х=3
Ответ: -3;-1.
Теперь можно сделать вывод: если модуль некоторого выражения равен действительному положительному числу a, тогда выражение под модулем равно либо a, либо -а.
Графическое решение
Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут является корнями нашего уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.
Другой способ решения уравнений, содержащих модуль- это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней(удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ.
2-й способ
Установим, при каких значениях x, модуль равен нулю: |Х+2|=0 , Х=2
Получим два промежутка, на каждом из которых решим уравнение:
Получим две смешанных системы:
(1) Х+2 0
Х-2=1 Х+2=1
Решим каждую систему:
X=-3 X=-1
Ответ: -3;-1.
Графическое решение
y= |X+2|, y= 1.
Графическое решение
Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций и
Для построения графика функции, построим график функции - это функция, пересекающая ось OX и ось OY в точках.
Абсциссы точек пересечения графиков функций дадут решения уравнения.
Прямая графика функции y=1 пересеклась с графиком функции y=|x + 2| в точках с координатами (-3; 1) и (-1; 1), следовательно решениями уравнения будут абсциссы точек:
x=-3, x=-1
Ответ: -3;-1
Пример 2. Решить аналитически и графически уравнение 1 + |x| = 0.5.
Решение:
Аналитическое решение
Преобразуем уравнение: 1 + |x| = 0.5
|x| =0.5-1
|x|=-0.5
Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как, по определению, модуль всегда неотрицателен.
Ответ: решений нет.
Графическое решение
Преобразуем уравнение: : 1 + |x| = 0.5
|x| =0.5-1
|x|=-0.5
Графиком функции являются лучи - биссектрисы 1-го и 2-го координатных углов. Графиком функции является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку -0,5 на оси OY.
Графики не пересекаются, значит уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.
Пример 3. Решите аналитически и графически уравнение |-x + 2| = 2x + 1.
Решение:
Аналитическое решение
1-й способ
Прежде следует установить область допустимых значений переменной. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущих примерах не было необходимости делать этого, а сейчас она возникла.
Дело в том, что в этом примере в левой части уравнения модуль некоторого выражения, а в правой части не число, а выражение с переменной, - именно это важное обстоятельство отличает данный пример от предыдущих.
Поскольку в левой части - модуль, а в правой части, выражение, содержащее переменную, необходимо потребовать, чтобы это выражение было неотрицательным, т. е. Таким образом, область допустимых
значений модуля
Теперь можно рассуждать также, как и в примере 1, когда в правой части равенства находилось положительной число. Получим две смешанных системы:
(1) -X+2≥0 и (2) -X+2
X+2=2X+1; X-2=2X+1
Решим каждую систему:
(1) входит в промежуток и является корнем уравнения.
X≤2
X=⅓
(2) X>2
X=-3
X = -3 не входит в промежуток и не является корнем уравнения.
Ответ: ⅓.
4.1.Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами этих чисел.
Помимо приведенных мною выше способов существует определенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а также между квадратами и модулями данных чисел:
|a|=|b| a=b или a=-b
A2=b2 a=b или a=-b
Отсюда в свою очередь получим, что
|a|=|b| a 2 =b 2
Пример 4. Решим уравнение |x + 1|=|2x - 5| двумя различными способами.
1.Учитывая соотношение (1), получим:
X + 1=2x - 5 или x + 1=-2x + 5
x - 2x=-5 - 1 x + 2x=5 - 1
X=-6|(:1) 3x=4
X=6 x=11/3
Корень первого уравнения x=6, корень второго уравнения x=11/3
Таким образом корни исходного уравнения x 1 =6, x 2 =11/3
2. В силу соотношения (2), получим
(x + 1)2=(2x - 5)2, или x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25
X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0
3x2 + 22x - 24=0|(:-1)
3x2 - 22x + 24=0
D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==>уравнение имеет 2 различных корня.
x 1 =(11 - 7)/3=11/3
x 2 =(11 + 7)/3=6
Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 11/3 и 6
Ответ: x 1 =6, x 2 =11/3
Пример 5. Решим уравнение (2x + 3) 2 =(x - 1) 2 .
Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x - 1|, откуда по образцу предыдущего примера(и по соотношению (1)):
2х + 3=х - 1 или 2х + 3=-х + 1
2х - х=-1 - 3 2х+ х=1 - 3
Х=-4 х=-0,(6)
Таким образом корнями уравнения являются х1=-4, и х2=-0,(6)
Ответ: х1=-4, х 2 =0,(6)
Пример 6. Решим уравнение |x - 6|=|x2 - 5x + 9|
Пользуясь соотношением, получим:
х - 6=х2 - 5х + 9 или х - 6 = -(х2 - 5х + 9)
Х2 + 5х + х - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9
x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0
D=36 - 4 15=36 - 60= -24 D=16 - 4 3=4 >0==>2 р.к.
==> корней нет.
X 1 =(4- 2) /2=1
X 2 =(4 + 2) /2=3
Проверка: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|
5 = 5(И) 3 = |9 - 15 + 9|
3 = 3(И)
Ответ: x 1 =1; x 2 =3
4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений.
Геометрический смысл модуля разности величин -это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |x - a | -длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.
Пример7. Решим уравнение |x - 1| + |x - 2|=1 с использованием геометрической интерпретации модуля.
Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка- нет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок .
Ответ:
Пример8. Решим уравнение |x - 1| - |x - 2|=1 1 с использованием геометрической интерпретации модуля.
Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно решением данного уравнения будет является не отрезок, заключенный между точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном направлении оси ОХ.
Ответ: }
