Умножение степеней с разными знаками. Правила вычитания и сложения степеней
Деление степеней с одинаковым основанием. Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями.
3.a-3 есть a0 = 1, второй числитель. В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. Теперь рассмотрим их на конкретных примерах и попробуем доказать.
Таким образом мы доказали, что при делении двух степеней с одинаковыми основаниями, их показатели надо вычитать. После того как определена степень числа, логично поговорить про свойства степени.
Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров. Например, основное свойство дроби am·an=am+n при упрощении выражений часто применяется в виде am+n=am·an. Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке.
Свойства степеней с натуральными показателями
Условие m>n вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Из полученного равенства am−n·an=am и из связи умножения с делением следует, что am−n является частным степеней am и an. Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями. Для наглядности покажем это свойство на примере. Например, для любых натуральных чисел p, q, r и s справедливо равенство. Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.
Сложение и вычитание одночленов
Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a=0 степень an есть нуль. Действительно, 0n=0·0·…·0=0. К примеру, 03=0 и 0762=0. Переходим к отрицательным основаниям степени. Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m, где m — натуральное.
Переходим к доказательству этого свойства. Докажем, что при m>n и 0Осталось доказать вторую часть свойства. Следовательно, am−an>0 и am>an, что и требовалось доказать. Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.
Если p=0, то имеем (a0)q=1q=1 и a0·q=a0=1, откуда (a0)q=a0·q. По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств. Условиям p 0 в этом случае будут эквивалентны условия m 0 соответственно.
При этом условию p>q будет соответствовать условие m1>m2, что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и. А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно.
Основные свойства логарифмов
Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание). Операции с корнями.
Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем;нодействиясостепенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения. Если мы хотим, чтобы формула a m: a n=a m — nбыла справедлива при m = n,нам необходимо определение нулевой степени.
Умножение степеней чисел с одинаковыми показателями. Далее мы сформулируем теорему о делении степеней с одинаковыми основаниями, решим разъясняющие задачи и докажем теорему в общем случае. Перейдём теперь к определению отрицательных степеней. Вы можете в этом легко убедиться, подставив формулу из определения в остальные свойства. Для решения данной задачи вспомните, что: 49 = 7^2, а 147 = 7^2 * 3^1. Если Вы теперь аккуратно воспользуетесь свойствами степеней (при возведении степени в степень показатели…
То есть показатели степени действительно вычитаются, но, поскольку в знаменателе у степени показатель отрицательный, при вычитании минус на минус даёт плюс, и показатели складываются. Вспомним, что называется одночленом, и какие операции можно делать с одночленами. Напомним, что для приведения одночлена к стандартному виду необходимо вначале получить численный коэффициент, перемножив все численные множители, а после этого перемножить соответствующие степени.
Переход к новому основанию
То есть, мы должны научиться различать подобные и не подобные одночлены. Сделаем вывод: подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть, и такие одночлены можно складывать и вычитать.
Спасибо Вам за отзыв. Если наш проект вам понравился и вы готовы помочь или принять участие в нём, перешлите информацию о проекте знакомым и коллегам. В предыдущем видео говорилось,что в примерах с одночленами может быть только умножение:»Найдем отличие этих выражений от предыдущих.
Само понятие одночлена как математической единицы подразумевает только умножение чисел и переменных, если есть другие операции, выражение уже не будет одночленом. Но вместе с тем между собой одночлены можно складывать, вычитать, делить… Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы - это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.
Обратите внимание: ключевой момент здесь - одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают! Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.
То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Правил относительно сложения и вычитания степеней с одинаковыми основаниями не существует. Основание и аргумент первого логарифма - точные степени. 4. Уменьшите показатели степеней 2a4/5a3 и 2/a4 и приведите к общему знаменателю.
Статьи по естественным наукам и математике
Свойства степеней с одинаковыми основаниями
Существует три свойства степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Это
- Произведение сумма
- Частное двух степеней с одинаковыми основаниями равно выражению, где основание то же самое, а показатель есть разность показателей исходных множителей.
- Возведение степени числа в степень равно выражению, в котором основание - это то же самое число, а показатель - это произведение двух степеней.
Будьте внимательны! Правил относительно сложения и вычитания степеней с одинаковыми основаниями не существует .
Запишем эти свойства-правила в виде формул:
- a m ? a n = a m+n
- a m ? a n = a m–n
- (a m) n = a mn
Теперь рассмотрим их на конкретных примерах и попробуем доказать.
5 2 ? 5 3 = 5 5 - здесь мы применили правило; а теперь представим как бы мы решали этот пример, если бы не знали правила:
5 2 ? 5 3 = 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 = 5 5 - пять в квадрате - это пять умноженное на пять, а в кубе - произведение трех пятерок. В результате получилось произведение пяти пятерок, но это нечто иное как пять в пятой степени: 5 5 .
3 9 ? 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Запишем деление в виде дроби:
Ее можно сократить:
В результате получим:
Таким образом мы доказали, что при делении двух степеней с одинаковыми основаниями, их показатели надо вычитать.
Однако при делении нельзя, чтобы делитель был равен нулю (так как на ноль делить нельзя). Кроме того, поскольку мы рассматриваем степени только с натуральными показателями, то не можем в результате вычитания показателей получить число меньше, чем 1. Поэтому на формулу a m ? a n = a m–n накладываются ограничения: a ? 0 и m > n.
Перейдем к третьему свойству:
(2 2) 4 = 2 2?4 = 2 8
Запишем в развернутом виде:
(2 2) 4 = (2 ? 2) 4 = (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2 8
Можно прийти к такому выводу и логически рассуждая. Нужно перемножить два в квадрате четыре раза. Но в каждом квадрате две двойки, значит всего двоек будет восемь.
scienceland.info
Правила сложения и вычитания.
1. От перемены мест слагаемых сумма не изменится (коммутативное свойство сложения)
13+25=38, можно записать как: 25+13=38
2. Результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой (ассоциативное свойство сложения).
10+13+3+5=31 можно записать как: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 и т.д.
3. Единицы складываются с единицами, десятки с десятками и т.д.
34+11=45 (3 десяка плюс еще 1 десяток; 4 единицы плюс 1 единица).
4. Единицы вычитаются из единиц, десятки из десятков и т.д.
53-12=41 (3 единицы минус 2 единицы; 5 десятков минус 1 десяток)
примечание: 10 единиц составляют один десяток. Это надо помнить при вычитании, т.к. если количество единиц у вычитаемого больше, чем у уменьшаемого, то мы можем «занять» один десяток у уменьшаемого.
41-12=29 (Для того чтобы и 1 вычесть 2, мы сначала должны «занять» единицу у десятков, получаем 11-2=9; помним, что у уменьшаемого остается на 1 десяток меньше, следовательно, остается 3 десятка и от него отнимается 1 десяток. Ответ 29).
5. Если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится второе слагаемое.
Это значит, что сложение можно проверить с помощью вычитания.
Для проверки из суммы вычитают одно из слагаемых: 49-7=42 или 49-42=7
Если в результате вычитания вы не получили одно из слагаемых, значит в вашем сложении была допущена ошибка.
6. Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое.
Это значит, что вычитание можно проверить сложением.
Для проверки к разности прибавим вычитаемое: 19+50=69.
Если в результате описанной выше процедуры вы не получили уменшьшаемое, значит в вашем вычитании была допущена ошибка.
Сложение и вычитание рациональных чисел
В данном уроке рассматривается сложение и вычитание рациональных чисел. Тема относится к категории сложных. Здесь необходимо использовать весь арсенал полученных ранее знаний.
Правила сложения и вычитания целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Напомним, что рациональными называют числа, которые могут быть представлены в виде дроби, где a – это числитель дроби, b – знаменатель дроби. Причем b не должно быть нулём.
В данном уроке дроби и смешанные числа мы всё чаще будем называть одним общим словосочетанием - рациональные числа .
Навигация по уроку:
Пример 1. Найти значение выражения
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении является знаком операции и не относится к дроби. У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший, и перед полученным ответом поставить тот знак, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих дробей до их вычисления:
Модуль рационального числа больше, чем модуль рационального числа. Поэтому мы из вычли . Получили ответ. Затем сократив эту дробь на 2, получили окончательный ответ .
При желании некоторые примитивные действия, такие как заключение чисел в скобки и проставление модулей, можно пропустить. Данный пример вполне можно записать покороче:
Пример 2. Найти значение выражения
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус который дан в выражении является знаком операции и не относится к дроби.
Дробь в данном случае является положительным рациональным числом, имеющим знак плюса, который невидим. Но мы запишем его для наглядности:
Заменим вычитание сложением. Напомним, что для этого нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:
Пример 3. Найти значение выражения
В этом выражении у дробей разные знаменатели. Чтобы облегчить себе задачу, приведём эти дроби к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно останавливаться на этом. Если испытываете трудности, обязательно вернитесь к уроку действия с дробями и повторите его.
После приведения дробей к общему знаменателю выражение примет следующий вид:
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший и перед полученным ответом ставим тот знак, модуль которого больше:
Пример 4. Найти значение выражения
Получили сумму из трёх слагаемых. Сначала найдём значение выражения, затем к полученному ответу прибавим
Первое действие:
Второе действие:
Таким образом, значение выражения равно.
Решение для данного примера можно записать покороче
Пример 5 . Найти значение выражения
Заключим каждое число в скобки вместе со своими знаками. Для этого смешанное число временно развернём
Вычислим целые части:
В главном выражении вместо 
запишем полученную единицу:
Полученное выражение свернём. Для этого опустим скобки и запишем единицу и дробь вместе
Решение для данного примера можно записать покороче:
Пример 6. Найти значение выражения
Переведём смешанное число в неправильную дробь. Остальную часть перепишем как есть:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Сложим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:
Таким образом, значение выражения равно .
Решение для данного примера можно записать покороче:
Пример 7. Найти значение выражение
Запишем смешанное число в развёрнутом виде. Остальное перепишем как есть:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками
Заменим вычитание сложением там, где это можно:
Вычислим целые части:
В главном выражении вместо запишем полученное число?7
Выражение является развёрнутой формой записи смешанного числа . Можно сразу записать ответ, записав вместе числа?7 и дробь (спрятав минус этой дроби)
Таким образом, значение выражения равно
Решение для данного примера можно записать значительно короче. Если пропустить некоторые подробности, то его можно записать следующим образом:
Пример 8. Найти значение выражения
Данное выражение можно вычислить двумя способами. Рассмотрим каждый из них.
Первый способ. Целые и дробные части выражения вычисляются по отдельности.
Для начала запишем смешанные числа в развёрнутом виде:
Заключим каждое число в скобки вместе со своими знаками:
Заменим вычитание сложением там, где это можно:
Получили сумму из нескольких слагаемых. Согласно сочетательному закону сложения, если выражение содержит несколько слагаемых, то сумма не будет зависеть от порядка действий. Это позволит нам сгруппировать целые и дробные части по отдельности:
Вычислим целые части:
В главном выражении вместо запишем полученное число?3
Вычислим дробные части:
В главном выражении вместо запишем полученное смешанное число
Чтобы вычислить получившееся выражение, смешанное число нужно временно развернуть, затем заключить в скобки каждое число и заменить вычитание сложением. Делать это нужно очень аккуратно, чтобы не перепутать знаки слагаемых.
После преобразования выражения мы получили новое выражение , которое легко вычисляется. Похожее выражение было в примере 7. Напомним, что мы отдельно сложили целые части, а дробную оставили как есть:
Значит значение выражения равно
Решение для данного примера можно записать покороче
В коротком решении пропускаются этапы заключения чисел в скобки, замена вычитания сложением, проставление модулей. Если вы учитесь в школе или в другом учебном заведении, то от вас будут требовать пропускать эти примитивные действия, чтобы сэкономить время и место. Приведённое выше короткое решение можно записать ещё короче. Выглядеть оно будет так:
Поэтому, находясь в школе или в ином учебном заведении, будьте готовы к тому, что некоторые действия придётся выполнять в уме.
Второй способ. Смешанные числа выражения переводят в неправильные дроби и вычисляют, как обычные дроби.
Заключим в скобки каждое рациональное число вместе со своими знаками
Заменим вычитание сложением:
Теперь смешанные числа и переведём в неправильные дроби:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Сложим их модули и перед полученным ответом поставим минус:
Получили ответ как и в прошлый раз.
Подробное решение вторым способом выглядит следующим образом:
Пример 9.
Найти выражения выражения 
Первый способ. Сложим целые и дробные части по отдельности.
В этот раз попробуем пропустить некоторые примитивные действия, такие как запись выражения в развёрнутом виде, заключение чисел в скобки, замена вычитания сложением, проставление модулей:
Обратите внимание, что дробные части были приведены к общему знаменателю.
Второй способ. Переведём смешанные числа в неправильные дроби и вычислим, как обычные дроби.
Пример 10.
Найти значение выражения 
Заменим вычитание сложением:
В получившемся выражении нет отрицательных чисел, которые являются основной причиной допущения ошибок. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вычитаемым, а также убрать скобки. Тогда получим простейшее выражение, которое вычисляется легко:
В данном примере целые и дробные части были вычислены по отдельности.
Пример 11. Найти значение выражения
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший и перед полученными числом поставим тот знак, модуль которого больше:
Пример 12.
Найти значение выражения 
Выражение состоит из нескольких параметров. Согласно порядку действий, в первую очередь необходимо выполнить действия в скобках.
Сначала вычислим выражение , затем выражение Полученные ответы сложим.
Первое действие:
Второе действие:
Третье действие:
Ответ:
значение выражения равно
Пример 13.
Найти значение выражения 
Заменим вычитание сложением:
Получили сложением рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший и перед ответом поставим тот знак, модуль которого больше. Но мы имеем дело со смешанными числами. Чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно сравнить модули этих смешанных чисел. А чтобы сравнить модули смешанных чисел, нужно перевести их в неправильные дроби и сравнить, как обычные дроби.
На следующем рисунке показаны все этапы сравнения модулей смешанных чисел
Узнав какой модуль больше, а какой меньше, мы можем продолжить вычисление нашего примера:
Таким образом, значение выражения равно
Рассмотрим сложение и вычитание десятичных дробей, которые тоже относятся к рациональным числам и которые могут быть, как положительными, так и отрицательными.
Пример 14. Найти значение выражения?3,2 + 4,3
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении является знаком операции и не относится к десятичной дроби 4,3. У этой десятичной дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы его запишем для наглядности:
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший, и перед полученным ответом поставить тот знак, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих десятичных дробей до их вычисления:
Модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа?3,2 поэтому мы из 4,3 вычли 3,2. Получили ответ 1,1. Ответ положителен, поскольку в ответе должен стоять знак большего модуля, то есть модуля |+4,3|.
Таким образом, значение выражения?3,2 + (+4,3) равно 1,1
Пример 15. Найти значение выражения 3,5 + (?8,3)
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере из большего модуля вычитаем меньший и перед ответом ставим тот знак, модуль которого больше
3,5 + (?8,3) = ?(|?8,3| ? |3,5|) = ?(8,3 ? 3,5) = ?(4,8) = ?4,8
Таким образом, значение выражения 3,5 + (?8,3) равно?4,8
Этот пример можно записать покороче:
Пример 16. Найти значение выражения?7,2 + (?3,11)
Это сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:
7,2 + (?3,11) = ?7,20 + (?3,11) = ?(7,20 + 3,11) = ?(10,31) = ?10,31
Таким образом, значение выражения?7,2 + (?3,11) равно?10,31
Этот пример можно записать покороче:
Пример 17. Найти значение выражения?0,48 + (?2,7)
Это сложение отрицательных рациональных чисел. Сложим их модули и перед полученным ответом поставим знак минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:
0,48 + (?2,7) = (?0,48) + (?2,70) = ?(0,48 + 2,70) = ?(3,18) = ?3,18
Пример 18. Найти значение выражения?4,9 ? 5,9
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус который дан в выражении, является знаком операции и не относится к десятичной дроби 5,9. У этой десятичной дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что он не записывается. Но мы запишем его для наглядности:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Сложить их модули и перед полученным ответом поставим минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:
(?4,9) + (?5,9) = ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8
Таким образом, значение выражения?4,9 ? 5,9 равно?10,8
= ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8
Пример 19. Найти значение выражения 7 ? 9,3
Заключим в скобки каждое число вместе со своим знаками
Заменим вычитание сложением
Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший и перед ответом поставим тот знак, модуль которого больше. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:
(+7) + (?9,3) = ?(9,3 ? 7) = ?(2,3) = ?2,3
Таким образом, значение выражения 7 ? 9,3 равно?2,3
Подробное решение данного примера записывается следующим образом:
7 ? 9,3 = (+7) ? (+9,3) = (+7) + (?9,3) = ?(|?9,3| ? |+7|) =
Короткое решение будет выглядеть так:
Пример 20. Найти значение выражения?0,25 ? (?1,2)
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший и перед ответом поставим тот знак, модуль которого больше:
0,25 + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95
Подробное решение данного примера записывается следующим образом:
0,25 ? (?1,2) = (?0,25) + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95
Короткое решение будет выглядеть так:
Пример 21. Найти значение выражения?3,5 + (4,1 ? 7,1)
В первую очередь выполним действия в скобках, затем сложим полученный ответ с числом?3,5. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражения.
Первое действие:
4,1 ? 7,1 = (+4,1) ? (+7,1) = (+4,1) + (?7,1) = ?(7,1 ? 4,1) = ?(3,0) = ?3,0
Второе действие:
3,5 + (?3,0) = ?(3,5 + 3,0) = ?(6,5) = ?6,5
Ответ: значение выражения?3,5 + (4,1 ? 7,1) равно?6,5.
3,5 + (4,1 ? 7,1) = ?3,5 + (?3,0) = ?6,5
Пример 22. Найти значение выражения (3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1)
Выполним действия в скобках, затем из числа которое получилось в результате выполнения первых скобок вычтем число, которое получилось в результате выполнения вторых скобок. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражения.
Первое действие:
3,5 ? 2,9 = (+3,5) ? (+2,9) = (+3,5) + (?2,9) = 3,5 ? 2,9 = 0,6
Второе действие:
3,7 ? 9,1 = (+3,7) ? (+9,1) = (+3,7) + (?9,1) = ?(9,1 ? 3,7) = ?(5,4) = ?5,4
Третье действие
0,6 ? (?5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Ответ: значение выражения (3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) равно 6.
Короткое решение данного примера можно записать следующим образом:
(3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) = 0,6 ? (?5,4) = 6,0 = 6
Пример 23. Найти значение выражения?3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15
Заключим в скобки каждое рациональное число вместе со своими знаками
Заменим вычитание сложением там, где это можно
Выражение состоит из нескольких слагаемых. Согласно сочетательному закону сложения, если выражение состоит из нескольких слагаемых, то сумма не будет зависеть от порядка действий. Это значит, что слагаемые можно складывать в любом порядке.
Не будем изобретать велосипед, а сложим все слагаемые слева направо в порядке их следования:
Первое действие:
(?3,8) + (+17,15) = 17,15 ? 3,80 = 13,35
Второе действие:
13,35 + (?6,2) = 13,35 ? ?6,20 = 7,15
Третье действие:
7,15 + (?6,15) = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1
Ответ: значение выражения?3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 равно 1.
Короткое решение данного примера можно записать следующим образом:
3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 = 13,35 + (?6,2) ? 6,15 = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1
Короткие решения создают меньше проблем и путаниц, поэтому желательно привыкнуть к ним.
Пример 24. Найти значение выражения
Переведём десятичную дробь?1,8 в смешанное число. Остальное перепишем, как есть. Если испытываете затруднения с переводом десятичной дроби в смешанное число, обязательно повторите урок десятичные дроби.
Пример 25.
Найти значение выражения 
Заменим вычитание сложением. Попутно переведём десятичную дробь (?4,4) в неправильную дробь
В получившемся выражении нет отрицательных чисел. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вторым числом, и опустить скобки. Тогда получим простое выражение на сложение, которое решается легко
Пример 26.
Найти значение выражения 
Переведём смешанное число в неправильную дробь, а десятичную дробь?0,85 в обыкновенную дробь. Получим следующее выражение:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Сложим их модули и перед полученным ответом поставим знак минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:
Пример 27.
Найти значение выражения 
Переведём обе дроби в неправильные дроби. Чтобы перевести десятичную дробь 2,05 в неправильную дробь, можно перевести ее сначала в смешанное число, а затем в неправильную дробь:
После перевода обеих дробей в неправильные дроби, получим следующее выражение:
Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший и перед полученным ответом поставим тот знак, модуль которого больше:
Пример 28. Найти значение выражения
Заменим вычитание сложением. Попутно переведём десятичную дробь в обыкновенную дробь
Пример 29.
Найти значение выражения 
Переведём десятичные дроби?0,25 и?1,25 в обыкновенные дроби, остальное оставим как есть. Получим следующее выражение:
Можно сначала заменить вычитание сложением там, где это можно и сложить рациональные числа одно за другим. Есть и второй вариант: сначала сложить рациональные числа и , а затем из полученного числа вычесть рациональное число . Этим вариантом и воспользуемся.
Первое действие:
Второе действие:
Ответ:
значение выражения равно?2.
Пример 30. Найти значение выражения
Переведём десятичные дроби в обыкновенные. Остальное оставим как есть
Получили сумму из нескольких слагаемых. Если сумма состоит из нескольких слагаемых, то выражение можно вычислять в любом порядке. Это следует из сочетательного закона сложения.
Поэтому мы можем организовать наиболее удобный для нас вариант. В первую очередь можно сложить первое и последнее слагаемое, а именно рациональные числа и . У этих чисел одинаковые знаменатели, а значит это освободит нас от необходимости приводить их к нему.
Первое действие:
Полученное число можно сложить со вторым слагаемым, а именно с рациональным числом . У рациональных чисел и одинаковые знаменатели в дробных частях, что опять же является преимуществом для нас
Второе действие:
Ну и сложим полученное число?7 с последним слагаемым, а именно с рациональным числом . Удобно то, что при вычислении данного выражения, семёрки исчезнут, то есть их сумма будет равна нулю, поскольку сумма противоположных чисел равна нулю
Третье действие:
Ответ: значение выражения равно
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Сложение и вычитание целых чисел
В этом уроке мы изучим сложение и вычитание целых чисел , а также правила для их сложения и вычитания.
Напомним, что целые числа - это все положительные и отрицательные числа, а также число 0. Например, следующие числа являются целыми:
Положительные числа легко складываются и вычитаются, умножаются и делятся. К сожалению, этого нельзя сказать об отрицательных числах, которые смущают многих новичков своими минусами перед каждой цифрой. Как показывает практика, ошибки сделанные из-за отрицательных чисел, расстраивают обучающихся больше всего.
Примеры сложения и вычитания целых чисел
Первое чему следует научиться, это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа, а где положительные.
Рассмотрим простейшее выражение: 1 + 3. Значение данного выражения равно 4:
Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате, мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть как это происходит:
Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
Пример 2. Найдём значение выражения 1 ? 3.
Значение данного выражения равно?2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число?2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:
Знак минуса в выражении 1 ? 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.
Вообще, надо запомнить, что если осуществляется сложение, то нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.
Пример 3. Найти значение выражения?2 + 4
Значение данного выражения равно 2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число?2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2.
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число?2 в правую сторону на четыре шага и оказались в точке, где располагается положительное число 2.
Знак плюса в выражении?2 + 4 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
Пример 4. Найти значение выражения?1 ? 3
Значение данного выражения равно?4
Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число?1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число?4
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число?1 в левую сторону на три шага и оказались в точке, где располагается отрицательное число?4.
Знак минуса в выражении?1 ? 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.
Пример 5. Найти значение выражения?2 + 2
Значение данного выражения равно 0
Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число?2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число?2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.
Знак плюса в выражении?2 + 2 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
Правила сложения и вычитания целых чисел
Чтобы вычислить то или иное выражение, необязательно каждый раз воображать координатную прямую, и тем более рисовать её. Удобнее воспользоваться готовыми правилами.
Применяя правила, нужно обращать внимания на знак операции и знаки чисел, которые нужно сложить или вычесть. От этого будет зависеть какое правило применять.
Пример 1. Найти значение выражения?2 + 5
Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число. Другими словами, осуществляется сложение чисел с разными знаками. ?2 это отрицательное число, а 5 - положительное. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:
Итак, посмотрим какой модуль больше:
Модуль числа 5 больше, чем модуль числа?2. Правило требует из большего модуля вычесть меньший. Поэтому, мы должны из 5 вычесть 2, и перед полученным ответом поставить тот знак, модуль которого больше.
У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и будет в ответе. То есть, ответ будет положительным:
Обычно записывают покороче?2 + 5 = 3
Пример 2. Найти значение выражения 3 + (?2)
Здесь как и в предыдущем примере, осуществляется сложение чисел с разными знаками. 3 - это положительное число, а?2 - отрицательное. Обратите внимание, что число?2 заключено в скобки, чтобы сделать выражение понятнее и красивее. Это выражение намного проще для восприятия, чем выражение 3+?2.
Итак, применим правило сложения чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере, из большего модуля вычитаем меньший модуль и перед ответом ставим тот знак, модуль которого больше:
3 + (?2) = |3| ? |?2| = 3 ? 2 = 1
Модуль числа 3 больше, чем модуль числа?2, поэтому мы из 3 вычли 2, и перед полученным ответом поставили тот знак модуль, которого больше. У числа 3 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставлен в ответе. То есть, ответ положительный.
Обычно записывают покороче 3 + (?2) = 1
Пример 3. Найти значение выражения 3 ? 7
В этом выражении из меньшего числа вычитается большее. Для такого случая предусмотрено следующее правило:
Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее и перед полученным ответом поставить минус.
В этом выражении есть небольшая загвоздка. Вспомним, что знак равенства (=) ставится между величинами и выражениями тогда, когда они равны между собой.
Значение выражения 3 ? 7 как мы узнали равно?4. Это означает, что любые преобразования которые мы будем совершать в данном выражении, должны быть равны?4
Но мы видим, что на втором этапе располагается выражение 7 ? 3, которое не равно?4.
Чтобы исправить эту ситуацию, выражение 7 ? 3 нужно взять в скобки и перед этой скобкой поставить минус:
3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ?4
В этом случае равенство будет соблюдаться на каждом этапе:
После того как выражение вычислено, скобки можно убрать, что мы и сделали.
Поэтому, чтобы быть более точным, решение должно выглядеть так:
3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ? 4
Данное правило можно записать с помощью переменных. Выглядеть оно будет следующим образом:
a ? b = ? (b ? a)
Большое количество скобок и знаков операций могут усложнять решение, казалось бы совсем простой задачи, поэтому целесообразнее научиться записывать такие примеры коротко, например 3 ? 7 = ? 4.
На самом деле сложение и вычитание целых чисел сводится только к сложению. Что это означает? Это означает, что если требуется осуществить вычитание чисел, эту операцию можно заменить сложением.
Итак знакомимся с новым правилом:
Вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.
Например, рассмотрим простейшее выражение 5 ? 3. На начальных этапах изучения математики мы просто ставили знак равенства и записывали ответ:
Но сейчас мы прогрессируем в изучении, поэтому надо приспосабливаться к новым правилам. Новое правило говорит, что вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.
На примере выражения 5?3 попробуем понять это правило. Уменьшаемое в данном выражении это 5, а вычитаемое это 3. Правило говорит, что для того чтобы из 5 вычесть 3 , нужно к 5 прибавить такое число, которое будет противоположно 3. Противоположное для числа 3 это число?3. Записываем новое выражение:
А как находить значения для таких выражений мы уже знаем. Это сложение чисел с разными знаками, которое мы рассмотрели выше. Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший, и перед полученным ответом поставить тот знак, модуль которого больше:
5 + (?3) = |5| ? |?3| = 5 ? 3 = 2
Модуль числа 5 больше, чем модуль числа?3. Поэтому мы из 5 вычли 3 и получили 2. У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставили в ответе. То есть ответ положителен.
Поначалу быстро заменять вычитание сложением удаётся не всем. Это связано с тем, что положительные числа записываются без своего знака плюс.
Например, в выражении 3 ? 1 знак минуса, указывающий на вычитание, является знаком операции и не относится к единице. Единица в данном случае является положительным числом и у неё есть свой знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс перед положительными числами по традиции не записывают.
А стало быть для наглядности данное выражение можно записать следующим образом:
Для удобства числа со своим знаками заключают в скобки. В таком случае заменить вычитание сложением намного проще. Вычитаемое в данном случае это число (+1), а противоположное ему число (?1). Заменим операцию вычитания сложением и вместо вычитаемого (+1) записываем противоположное ему число (?1)
(+3) ? (+1) = (+3) + (?1) = |+3| ? |?1| = 3 ? 1 = 2
На первый взгляд покажется, какой смысл в этих лишних телодвижениях, если можно старым добрым методом поставить знак равенства и сразу записать ответ 2. На самом деле это правило ещё не раз нас выручит.
Решим предыдущий пример 3 ? 7, используя правило вычитания. Сначала приведём выражение к нормальному виду, расставив каждому числу свои знаки. У тройки знак плюса, поскольку она является положительным числом. Минус, указывающий на вычитание не относится к семёрке. У семёрки знак плюса, поскольку она также является положительным числом:
Заменим вычитание сложением:
Дальнейшее вычисление не составляет труда:
Пример 7. Найти значение выражения?4 ? 5
Перед нами снова операция вычитания. Эту операцию нужно заменить сложением. К уменьшаемому (?4) прибавим число, противоположное вычитаемому (+5). Противоположное число для вычитаемого (+5) это число (?5).
Мы пришли к ситуации, где нужно сложить отрицательные числа. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:
Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.
Итак, сложим модули чисел, как от нас требует правило и поставим перед полученным ответом минус:
(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = |?4| + |?5| = 4 + 5 = ?9
Запись с модулями необходимо заключить в скобки и перед этими скобками поставить минус. Так мы обеспечим минус, который должен стоять перед ответом:
(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = ?(|?4| + |?5|) = ?(4 + 5) = ?(9) = ?9
Решение для данного примера можно записать покороче:
Пример 8. Найти значение выражения?3 ? 5 ? 7 ? 9
Приведём выражение к понятному виду. Здесь все числа, кроме числа?3 являются положительными, поэтому у них будут знаки плюса:
Заменим операции вычитания операциями сложения. Все минусы (кроме минуса, который перед тройкой) поменяются на плюсы и все положительные числа поменяются на противоположные:
Теперь применим правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:
= ?(|?3| + |?5| + |?7| + |?9|) = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?(24) = ?24
Решение для данного примера можно записать покороче:
3 ? 5 ? 7 ? 9 = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?24
Пример 9. Найти значение выражения?10 + 6 ? 15 + 11 ? 7
Приведём выражение к понятному виду:
Здесь сразу две операции: сложение и вычитание. Сложение оставляем как есть, а вычитание заменяем сложением:
(?10) + (+6) ? (+15) + (+11) ? (+7) = (?10) + (+6) + (?15) + (+11) + (?7)
Соблюдая порядок действий, выполним поочерёдно каждое действие, опираясь на ранее изученные правила. Записи с модулями можно пропустить:
Первое действие:
(?10) + (+6) = ? (10 ? 6) = ? (4) = ? 4
Второе действие:
(?4) + (?15) = ? (4 + 15) = ? (19) = ? 19
Третье действие:
(?19) + (+11) = ? (19 ? 11) = ? (8) = ?8
Четвёртое действие:
(?8) + (?7) = ? (8 + 7) = ? (15) = ? 15
Таким образом, значение выражения?10 + 6 ? 15 + 11 ? 7 равно?15
Примечание . Приводить выражение к понятному виду, заключая числа в скобки, вовсе необязательно. Когда происходит привыкание к отрицательным числам, это действие можно пропустить, поскольку оно отнимает время и может запутать.
Итак, для сложения и вычитания целых чисел необходимо запомнить следующие правила:
Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить тот знак, модуль которого больше.
Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее и перед полученным ответом поставить знак минуса.
Вычесть одно число из другого означает, прибавить к уменьшаемому число противоположное вычитаемому.
Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить знак минус.
Статьи по естественным наукам и математике
Свойства степеней с одинаковыми основаниями
Существует три свойства степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Это
Будьте внимательны! Правил относительно сложения и вычитания степеней с одинаковыми основаниями не существует .
Запишем эти свойства-правила в виде формул:
Теперь рассмотрим их на конкретных примерах и попробуем доказать.
5 2 × 5 3 = 5 5 - здесь мы применили правило; а теперь представим как бы мы решали этот пример, если бы не знали правила:
5 2 × 5 3 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 - пять в квадрате - это пять умноженное на пять, а в кубе - произведение трех пятерок. В результате получилось произведение пяти пятерок, но это нечто иное как пять в пятой степени: 5 5 .
3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Запишем деление в виде дроби:
Ее можно сократить:
В результате получим:
Таким образом мы доказали, что при делении двух степеней с одинаковыми основаниями, их показатели надо вычитать.
Однако при делении нельзя, чтобы делитель был равен нулю (так как на ноль делить нельзя). Кроме того, поскольку мы рассматриваем степени только с натуральными показателями, то не можем в результате вычитания показателей получить число меньше, чем 1. Поэтому на формулу a m ÷ a n = a m–n накладываются ограничения: a ≠ 0 и m > n.
Перейдем к третьему свойству:
(2 2) 4 = 2 2×4 = 2 8
Запишем в развернутом виде:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8
Можно прийти к такому выводу и логически рассуждая. Нужно перемножить два в квадрате четыре раза. Но в каждом квадрате две двойки, значит всего двоек будет восемь.
scienceland.info
Свойства степени
Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.
Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.
Свойство № 1
Произведение степеней
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.
a m · a n = a m + n , где « a » - любое число, а « m », « n » - любые натуральные числа.
Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.
b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.
Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243
Свойство № 2
Частное степеней
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3 8: t = 3 4
Ответ: t = 3 4 = 81
Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.
-
Пример. Упростить выражение.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.
Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4
Свойство № 3
Возведение степени в степень
При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.
(a n) m = a n · m , где « a » - любое число, а « m », « n » - любые натуральные числа.
Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.
(a n · b n)= (a · b) n
То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.
Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216
Пример возведения в степень десятичной дроби.
4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4
Свойства 5
Степень частного (дроби)
Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
(a: b) n = a n: b n , где « a », « b » - любые рациональные числа, b ≠ 0, n - любое натуральное число.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.
Умножение и деление чисел со степенями
Если вам нужно возвести какое-то конкретное число в степень, можете воспользоваться таблицей степеней натуральных чисел от 2 до 25 по алгебре. А сейчас мы более подробно остановимся на свойствах степеней .
Экспоненциальные числа
открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.
Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 – это 4×4, а 64 – это 4х4х4. То есть 16 на 64=4x4x4x4x4, что также равно 1024.
Число 16 можно представить также в виде 2х2х2х2, а 64 как 2х2х2х2х2х2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.
А теперь используем правило возведения числа в степень. 16=4 2 , или 2 4 , 64=4 3 , или 2 6 , в то же время 1024=6 4 =4 5 , или 2 10 .
Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 4 2 х4 3 =4 5 или 2 4 х2 6 =2 10 , и каждый раз мы получаем 1024.
Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что умножение чисел со степенями сводится к сложению показателей степени , или экспонент, разумеется, при том условии, что основания сомножителей равны.
Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 2 4 х2 2 х2 14 =2 20 .
Это правило справедливо также и при делении чисел со степенями, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого . Таким образом, 2 5:2 3 =2 2 , что в обычных числах равно 32:8=4, то есть 2 2 . Подведем итоги:
a m х a n =a m+n , a m: a n =a m-n , где m и n - целые числа.
С первого взгляда может показаться, что такое умножение и деление чисел со степенями не очень удобно, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 2 3 и 2 4 , но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8×9 – это 2 3 х3 2 , и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 2 5 и ни 3 5 не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.
Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огромные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.
До сих пор мы считали, что экспонента – это количество одинаковых сомножителей. В этом случае минимальная величина экспоненты – это 2. Однако если мы производим операцию деления чисел, или вычитания экспонент, то можем получить также число меньше 2, значит, старое определение нас больше не может устроить. Подробнее читайте в следующей статье.
Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней
Сложение и вычитание степеней
Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .
Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .
Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.
Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .
Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.
Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.
Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .
Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.
Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.
Или:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6
Умножение степеней
Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.
Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.
Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .
Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.
Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.
Так, a n .a m = a m+n .
Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;
И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;
Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.
Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1
Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
Ответ: x 4 — y 4 .
Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .
1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть
Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.
Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.
Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
(a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
(a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .
Деление степеней
Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.
Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .
Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac $. Но это равно a 2 . В ряде чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице
показателей делимых чисел.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. .
Так, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $\frac = y$.
И a n+1:a = a n+1-1 = a n . То есть $\frac = a^n$.
Или:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Правило также справедливо и для чисел с отрицательными
значениями степеней.
Результат деления a -5 на a -3 , равен a -2 .
Также, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.
Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями
1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.
2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.
3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .
4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .
5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.
6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).
7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .
8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.
Степень и ее свойства. Средний уровень.
Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?
Степенью
называется выражение вида: , где:
Степень с целым показателем
степень, показатель которой - натуральное число (т.е. целое и положительное).
Степень с рациональным показателем
степень, показатель которой - отрицательные и дробные числа.
Степень с иррациональным показателем
степень, показатель которой - бесконечная десятичная дробь или корень.
Свойства степеней
Особенности степеней.
Что такое степень числа?
Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.
Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи.
Начнем со сложения.
Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок.
Теперь умножение.
Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: . Математики — люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать». В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением. Согласись, считается легче и быстрее, чем.
Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения
. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками! Но…
Вот таблица умножения. Повторяй.
И другой, красивее:
А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно –возведение числа в степень .
Возведение числа в степень.
Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень. Например, . Математики помнят, что два в пятой степени – это. И решают такие задачки в уме – быстрее, легче и без ошибок.
Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел . Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.
Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью — кубом ? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.
Пример из жизни №1.
Начнем с квадрата или со второй степени числа.
Представь себе квадратный бассейн размером метра на метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться. Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.
Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет кусков. Это легко… Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет см на см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать. Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится плиток (штук) и по другой тоже плиток. Умножив на, ты получишь плиток ().
Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень». (Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше. Для ЕГЭ это очень важно).
Итак, тридцать во второй степени будет (). Или же можно сказать, что тридцать в квадрате будет. Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат – это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа. Квадрат – это изображение второй степени числа.
Пример из жизни №2.
Вот тебе задание, посчитать, сколько квадратов на шахматной доске с помощью квадрата числа. По одной стороне клеток и по другой тоже. Чтобы посчитать их количество, нужно восемь умножить на восемь или… если заметить, что шахматная доска – это квадрат со стороной, то можно возвести восемь в квадрат. Получится клетки. () Так?
Пример из жизни №3.
Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?) Нарисуй бассейн: дно размером на метра и глубиной метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.
Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать? Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту. В нашем случае объем бассейна будет равен кубов… Легче правда?
А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя… А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться степенью. Итак, то, что ты раз считал пальцем, они делают в одно действие: три в кубе равно. Записывается это так: .
Остается только запомнить таблицу степеней . Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки – можешь продолжать считать пальцем.
Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.
Пример из жизни №4.
У тебя есть миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через лет? Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты – умный! Итак, в первый год — два умножить на два… во второй год — то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп! Ты заметил, что число перемножается само на себя раз. Значит, два в пятой степени – миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти миллиона получит тот, кто быстрее посчитает… Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?
Пример из жизни №5.
У тебя есть миллиона. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через года? Давай считать. Первый год — умножить на, потом результат еще на … Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя раза. Значит в четвертой степени равно миллион. Надо просто помнить, что три в четвертой степени это или.
Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.
Термины и понятия.
Итак, для начала давай определим понятия. Как думаешь, что такое показатель степени ? Это очень просто – это то число, которое находится «вверху» степени числа. Не научно, зато понятно и легко запомнить…
Ну и заодно, что такое основание степени ? Еще проще – это то число, которое находится внизу, в основании.
Вот тебе рисунок для верности.
Ну и в общем виде, чтобы обобщить и лучше запомнить… Степень с основанием « » и показателем « » читается как « в степени » и записывается следующим образом:
«Степень числа с натуральным показателем»
Ты уже наверное, догадался: потому что показатель степени – это натуральное число. Да, но что такое натуральное число ? Элементарно! Натуральные это те числа, которые используются в счете при перечислении предметов: один, два, три… Мы же когда считаем предметы не говорим: «минус пять», «минус шесть», «минус семь». Мы так же не говорим: «одна третья», или «ноль целых, пять десятых». Это не натуральные числа. А какие это числа как ты думаешь?
Числа типа «минус пять», «минус шесть», «минус семь» относятся к целым числам. Вообще, к целым числам относятся все натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть взятые со знаком минус), и число. Ноль понять легко – это когда ничего нет. А что означают отрицательные («минусовые») числа? А вот их придумали в первую очередь для обозначения долгов: если у тебя баланс на телефоне рублей, это значит, что ты должен оператору рублей.
Всякие дроби — это рациональные числа. Как они возникли, как думаешь? Очень просто. Несколько тысяч лет назад наши предки обнаружили, что им не хватает натуральных чисел для измерения длинны, веса, площади и т.п. И они придумали рациональные числа … Интересно, правда ведь?
Есть еще иррациональные числа. Что это за числа? Если коротко, то бесконечная десятичная дробь. Например, если длину окружности разделить на ее диаметр, то в получится иррациональное число.
Степень с натуральным показателем
Определим понятие степени, показатель которой - натуральное число (т.е. целое и положительное).
- Любое число в первой степени равно самому себе:
- Возвести число в квадрат - значит умножить его само на себя:
- Возвести число в куб - значит умножить его само на себя три раза:
Определение. Возвести число в натуральную степень - значит умножить число само на себя раз:
Если вам нужно возвести какое-то конкретное число в степень, можете воспользоваться . А сейчас мы более подробно остановимся на свойствах степеней .
Экспоненциальные числа открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.
Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 – это 4×4, а 64 – это 4х4х4. То есть 16 на 64=4x4x4x4x4, что также равно 1024.
Число 16 можно представить также в виде 2х2х2х2, а 64 как 2х2х2х2х2х2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.
А теперь используем правило . 16=4 2 , или 2 4 , 64=4 3 , или 2 6 , в то же время 1024=6 4 =4 5 , или 2 10 .
Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 4 2 х4 3 =4 5 или 2 4 х2 6 =2 10 , и каждый раз мы получаем 1024.
Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что умножение чисел со степенями сводится к сложению показателей степени , или экспонент, разумеется, при том условии, что основания сомножителей равны.
Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 2 4 х2 2 х2 14 =2 20 .
Это правило справедливо также и при делении чисел со степенями, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого . Таким образом, 2 5:2 3 =2 2 , что в обычных числах равно 32:8=4, то есть 2 2 . Подведем итоги:
a m х a n =a m+n , a m: a n =a m-n , где m и n — целые числа.
С первого взгляда может показаться, что такое умножение и деление чисел со степенями не очень удобно, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 2 3 и 2 4 , но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8×9 – это 2 3 х3 2 , и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 2 5 и ни 3 5 не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.
Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огромные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.
