Как извлечь корень из 10. Как высчитать квадратный корень из числа без помощи калькулятора
Пришло время разобрать способы извлечения корней . Они базируются на свойствах корней , в частности, на равенстве , которое справедливо для любого неотрицательного числа b.
Ниже мы по очереди рассмотрим основные способы извлечения корней.
Начнем с самого простого случая – с извлечения корней из натуральных чисел с использованием таблицы квадратов, таблицы кубов и т.п.
Если же таблицы квадратов, кубов и т.п. нет под руками, то логично воспользоваться способом извлечения корня, который подразумевает разложение подкоренного числа на простые множители.
Отдельно стоит остановиться на , что возможно для корней с нечетными показателями.
Наконец, рассмотрим способ, позволяющий последовательно находить разряды значения корня.
Приступим.
Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
В самых простых случаях извлекать корни позволяют таблицы квадратов, кубов и т.д. Что же представляют собой эти таблицы?
Таблица квадратов целых чисел от 0 до 99 включительно (она показана ниже) состоит из двух зон. Первая зона таблицы располагается на сером фоне, она с помощью выбора определенной строки и определенного столбца позволяет составить число от 0 до 99 . Для примера выберем строку 8 десятков и столбец 3 единицы, этим мы зафиксировали число 83 . Вторая зона занимает оставшуюся часть таблицы. Каждая ее ячейка находится на пересечении определенной строки и определенного столбца, и содержит квадрат соответствующего числа от 0 до 99 . На пересечении выбранной нами строки 8 десятков и столбца 3 единицы находится ячейка с числом 6 889 , которое является квадратом числа 83 .
Таблицы кубов, таблицы четвертых степеней чисел от 0 до 99 и так далее аналогичны таблице квадратов, только они во второй зоне содержат кубы, четвертые степени и т.д. соответствующих чисел.
Таблицы квадратов, кубов, четвертых степеней и т.д. позволяют извлекать квадратные корни, кубические корни, корни четвертой степени и т.д. соответственно из чисел, находящихся в этих таблицах. Объясним принцип их применения при извлечении корней.
Допустим, нам нужно извлечь корень n
-ой степени из числа a
, при этом число a
содержится в таблице n
-ых степеней. По этой таблице находим число b
такое, что a=b n
. Тогда 
, следовательно, число b
будет искомым корнем n
-ой степени.
В качестве примера покажем, как с помощью таблицы кубов извлекается кубический корень из 19 683
. Находим число 19 683
в таблице кубов, из нее находим, что это число является кубом числа 27
, следовательно, 
.
Понятно, что таблицы n -ых степеней очень удобны при извлечении корней. Однако их частенько не оказывается под руками, а их составление требует определенного времени. Более того, часто приходится извлекать корни из чисел, которые не содержатся в соответствующих таблицах. В этих случаях приходится прибегать к другим методам извлечения корней.
Разложение подкоренного числа на простые множители
Достаточно удобным способом, позволяющим провести извлечение корня из натурального числа (если конечно корень извлекается), является разложение подкоренного числа на простые множители. Его суть заключается в следующем : после его достаточно легко представить в виде степени с нужным показателем, что позволяет получить значение корня. Поясним этот момент.
Пусть из натурального числа a извлекается корень n -ой степени, и его значение равно b . В этом случае верно равенство a=b n . Число b как любое натуральное число можно представить в виде произведения всех своих простых множителей p 1 , p 2 , …, p m в виде p 1 ·p 2 ·…·p m , а подкоренное число a в этом случае представляется как (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Так как разложение числа на простые множители единственно, то разложение подкоренного числа a на простые множители будет иметь вид (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , что дает возможность вычислить значение корня как .
Заметим, что если разложение на простые множители подкоренного числа a не может быть представлено в виде (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , то корень n -ой степени из такого числа a нацело не извлекается.
Разберемся с этим при решении примеров.
Пример.
Извлеките квадратный корень из 144 .
Решение.
Если обратиться к таблице квадратов, данной в предыдущем пункте, то хорошо видно, что 144=12 2 , откуда понятно, что квадратный корень из 144 равен 12 .
Но в свете данного пункта нас интересует, как извлекается корень с помощью разложения подкоренного числа 144 на простые множители. Разберем этот способ решения.
Разложим 144
на простые множители:
То есть, 144=2·2·2·2·3·3
. На основании с полученным разложением можно провести такие преобразования: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2 ·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2
. Следовательно, 
.
Используя свойства степени и свойства корней , решение можно было оформить и немного иначе: .
Ответ:
Для закрепления материала рассмотрим решения еще двух примеров.
Пример.
Вычислите значение корня .
Решение.
Разложение на простые множители подкоренного числа 243
имеет вид 243=3 5
. Таким образом, 
.
Ответ:
Пример.
Является ли значение корня целым числом?
Решение.
Чтобы ответить на этот вопрос, разложим подкоренное число на простые множители и посмотрим, представимо ли оно в виде куба целого числа.
Имеем 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 . Полученное разложение не представляется в виде куба целого числа, так как степень простого множителя 7 не кратна трем. Следовательно, кубический корень из числа 285 768 не извлекается нацело.
Ответ:
Нет.
Извлечение корней из дробных чисел
Пришло время разобраться, как извлекается корень из дробного числа. Пусть дробное подкоренное число записано в виде как p/q . Согласно свойству корня из частного справедливо следующее равенство . Из этого равенства следует правило извлечения корня из дроби : корень из дроби равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя.
Разберем пример извлечения корня из дроби.
Пример.
Чему равен квадратный корень из обыкновенной дроби 25/169 .
Решение.
По таблице квадратов находим, что квадратный корень из числителя исходной дроби равен 5
, а квадратный корень из знаменателя равен 13
. Тогда 
. На этом извлечение корня из обыкновенной дроби 25/169
завершено.
Ответ:
Корень из десятичной дроби или смешанного числа извлекается после замены подкоренных чисел обыкновенными дробями.
Пример.
Извлеките кубический корень из десятичной дроби 474,552 .
Решение.
Представим исходную десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: 474,552=474552/1000
. Тогда 
. Осталось извлечь кубические корни, находящиеся в числителе и знаменателе полученной дроби. Так как 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=
(2·3·13) 3 =78 3
и 1 000=10 3
, то 
и 
. Осталось лишь завершить вычисления 
.
Ответ:
.
Извлечение корня из отрицательного числа
Отдельно стоит остановиться на извлечении корней из отрицательных чисел. При изучении корней мы сказали, что когда показатель корня является нечетным числом, то под знаком корня может находиться отрицательное число. Таким записям мы придали следующий смысл: для отрицательного числа −a
и нечетного показателя корня 2·n−1
справедливо 
. Это равенство дает правило извлечения корней нечетной степени из отрицательных чисел
: чтобы извлечь корень из отрицательного числа нужно извлечь корень из противоположного ему положительного числа, и перед полученным результатом поставить знак минус.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Найдите значение корня .
Решение.
Преобразуем исходное выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительное число: 
. Теперь смешанное число заменим обыкновенной дробью: 
. Применяем правило извлечения корня из обыкновенной дроби: 
. Осталось вычислить корни в числителе и знаменателе полученной дроби: 
.
Приведем краткую запись решения: 
.
Ответ:
.
Порязрядное нахождение значения корня
В общем случае под корнем находится число, которое при помощи разобранных выше приемов не удается представить в виде n -ой степени какого-либо числа. Но при этом бывает необходимость знать значение данного корня, хотя бы с точностью до некоторого знака. В этом случае для извлечения корня можно воспользоваться алгоритмом, который позволяет последовательно получить достаточное количество значений разрядов искомого числа.
На первом шаге данного алгоритма нужно выяснить, каков старший разряд значения корня. Для этого последовательно возводятся в степень n числа 0, 10, 100, … до того момента, когда будет получено число, превосходящее подкоренное число. Тогда число, которое мы возводили в степень n на предыдущем этапе, укажет соответствующий старший разряд.
Для примера рассмотрим этот шаг алгоритма при извлечении квадратного корня из пяти. Берем числа 0, 10, 100, … и возводим их в квадрат, пока не получим число, превосходящее 5 . Имеем 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , значит, старшим разрядом будет разряд единиц. Значение этого разряда, а также более младших, будет найдено на следующих шагах алгоритма извлечения корня.
Все следующие шаги алгоритма имеют целью последовательное уточнение значения корня за счет того, что находятся значения следующих разрядов искомого значения корня, начиная со старшего и продвигаясь к младшим. К примеру, значение корня на первом шаге получается 2 , на втором – 2,2 , на третьем – 2,23 , и так далее 2,236067977… . Опишем, как происходит нахождение значений разрядов.
Нахождение разрядов проводится за счет перебора их возможных значений 0, 1, 2, …, 9 . При этом параллельно вычисляются n -ые степени соответствующих чисел, и они сравниваются с подкоренным числом. Если на каком-то этапе значение степени превзойдет подкоренное число, то значение разряда, соответствующее предыдущему значению, считается найденным, и производится переход к следующему шагу алгоритма извлечения корня, если же этого не происходит, то значение этого разряда равно 9 .
Поясним эти моменты все на том же примере извлечения квадратного корня из пяти.
Сначала находим значение разряда единиц. Будем перебирать значения 0, 1, 2, …, 9
, вычисляя соответственно 0 2 , 1 2 , …, 9 2
до того момента, пока не получим значение, большее подкоренного числа 5
. Все эти вычисления удобно представлять в виде таблицы:
Так значение разряда единиц равно 2
(так как 2 2 <5
, а 2 3 >5
). Переходим к нахождению значения разряда десятых. При этом будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9
, сравнивая полученные значения с подкоренным числом 5
:
Так как 2,2 2 <5
, а 2,3 2 >5
, то значение разряда десятых равно 2
. Можно переходить к нахождению значения разряда сотых:
Так найдено следующее значение корня из пяти, оно равно 2,23 . И так можно продолжать дальше находить значения : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Для закрепления материала разберем извлечение корня с точностью до сотых при помощи рассмотренного алгоритма.
Сначала определяем старший разряд. Для этого возводим в куб числа 0, 10, 100 и т.д. пока не получим число, превосходящее 2 151,186 . Имеем 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , таким образом, старшим разрядом является разряд десятков.
Определим его значение.
Так как 10 3 <2 151,186
, а 20 3 >2 151,186
, то значение разряда десятков равно 1
. Переходим к единицам.
Таким образом, значение разряда единиц равно 2
. Переходим к десятым.
Так как даже 12,9 3
меньше подкоренного числа 2 151,186
, то значение разряда десятых равно 9
. Осталось выполнить последний шаг алгоритма, он нам даст значение корня с требуемой точностью.
На этом этапе найдено значение корня с точностью до сотых: 
.
В заключение этой статьи хочется сказать, что существует масса других способов извлечения корней. Но для большинства задач достаточно тех, которые мы изучили выше.
Список литературы.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).
На кружке показала, как в столбик можно извлекать квадратные корни. Вычислить корень можно с произвольной точностью, найти сколько угодно цифр в его десятичной записи, даже если он получается иррациональным. Алгоритм запомнился, а вопросы остались. Непонятно было, откуда взялся метод и почему он дает верный результат. В книжках этого не было, а может, просто не в тех книжках искала. В итоге, как и многое из того, что на сегодняшний день знаю и умею, вывела сама. Делюсь своим знанием здесь. Кстати сказать, до сих пор не знаю, где приведено обоснование алгоритма)))
Итак, сначала на примере рассказываю, “как работает система”, а потом объясняю, почему она на самом деле работает.
Возьмем число (число взято “с потолка”, только что в голову пришло).
1. Разбиваем его цифры на пары: те, что стоят слева от десятичной запятой, группируем по две справа налево, а те, что правее – по две слева направо. Получаем .
2. Извлекаем квадратный корень из первой группы цифр слева — в нашем случае это (ясно, что точно корень может не извлекаться, берем число, квадрат которого максимально близок к нашему числу, образованному первой группой цифр, но не превосходит его). В нашем случае это будет число . Записываем в ответ — это старшая цифра корня.
3. Возводим число, которое стоит уже в ответе — это — в квадрат и вычитаем из первой слева группы цифр — из числа . В нашем случае остается .
4. Приписываем справа следующую группу из двух цифр: . Число , которое уже стоит в ответе, умножаем на , получаем .
5. Теперь следите внимательно. Нам нужно к числу справа приписать одну цифру , и число умножить на , то есть на ту же самую приписанную цифру. Результат должен быть как можно ближе к , но опять-таки не больше этого числа. В нашем случае это будет цифра , ее записываем в ответ рядом с , справа. Это следующая цифра в десятичной записи нашего квадратного корня.
6. Из вычитаем произведение , получаем .
7. Далее повторяем знакомые операции: приписываем к справа следующую группу цифр , умножаем на , к полученному числу > приписываем справа одну цифру, такую, чтобы при умножении на нее получилось число, меньшее , но наиболее близкое к нему –– это цифра –– следующая цифра в десятичной записи корня.
Вычисления запишутся следующим образом:
А теперь обещанное объяснение. Алгоритм основан на формуле
Комментариев: 50
2 Антон:
Слишком сумбурно и запутано. Разложите всё по пунктам и пронумеруйте их. Плюс: объясните откуда в каждом действии мы подставляем нужные значения. Никогда раньше не вычислял корень в столбик – разобрался с трудом.
5 Юлия:
6 :
Юлия, 23 на данный момент записано справа, это две первые (слева) уже полученные цифры корня, стоящие в ответе. Умножаем на 2 согласно алгоритму. Повторяем действия, описанные в пункте 4.
7 zzz:
ошибка в “6. Из 167 вычитаем произведение 43 * 3 = 123 (129 нада), получаем 38.”
непонятно как после запятой получилось 08…9 Федотов Александр:
А ещё в докалькуляторную эпоху нас в школе учили не только квадратный, но и кубический корень в столбик извлекать, но это более нудная и кропотливая работа. Проще было таблицами Брадиса воспользоваться или логарифмической линейкой, которую мы уже в старших классах изучали.
10 :
Александр, Вы правы, можно извлекать в столбик и корни больших степеней. Я собираюсь написать как раз о том, как находить кубический корень.
12 Сергей Валентинович:
Уважаемая Елизавета Александровна! Мной в конце 70-х разработана схема автоматического (т.е. не подбором) вычисления квадр. корня на арифмометре “Феликс”. Если заинтересуетесь, могу выслать описание.
14 Vlad aus Engelsstadt:
(((Извлечение квадратного корня в столбик)))
Алгоритм упрощается, если использовать 2-ную систему счисления, которую изучают в информатике, но полезно и в математике. А.Н. Колмогоров в популярных лекциях для школьников приводил этот алгоритм. Его статью можно найти в “Чебышёвском сборнике” (Математический журнал, ищите ссылку на него в интернете)
К случаю сказать:
Г.Лейбниц в свое время носился с идеей о переходе от 10-ной системы счисления к двоичной из-за ее простоты и доступности для начинающих (младших школьников). Но устоявшиеся традиции ломать это все равно что лбом ломать крепостные ворота: можно, но бесполезно. Вот и получается как по наиболее цитируемому в былые времена бородатому философу: традиции всех мертвых поколений подавляют сознание живых.До следующих встреч.
15 Vlad aus Engelsstadt:
))Сергей Валентинович, да, мне интересно…((
Бьюсь об заклад, что это вариация под “Феликс” Вавилонского метода извлечения коня квадратного методом последовательных приближений. Этот алгоритм был перекрыт методом Ньютона (метод касательных)
Интересно, не ошибся ли я в прогнозе?
18 :
2Vlad aus Engelsstadt
Да, алгоритм в двоичной системе должен быть проще, это довольно очевидно.
О методе Ньютона. Может, оно и так, но все равно интересно
20 Кирилл:
Спасибо большое. А алгоритма так и нету, неизвестно откуда он взялся, но результат правильный получается. СПАСИБО БОЛЬШОЕ! Долго искал это)
21 Александр:
А каким образом пойдёт извлечение корня из числа, где вторая слева-направо группа весьма мала? к примеру, любимое всеми число 4 398 046 511 104 . после первого вычитания не получается продолжить всё по алгоритму. Объясните пожалуйста.
22 Алексей:
Да, знаю этот способ. Я, помню, вычитал его в книге “Алгебра” какого-то старого издания. Тогда еще по аналогии сам вывел, как так же в столбик извлекать кубический корень. Но там уже сложнее: каждая цифра определяется уже не в одно (как для квадратного), а в два вычитания, да еще там каждый раз надо перемножать длинные числа.
23 Артем:
В примере извлечения квадратного корня в столбик из 56789,321 имеются опечатки. Группа цифр 32 приписана дважды к числам 145 и 243, в числе 2388025 вторую 8 необходимо заменить на 3. Тогда последнее вычитание следует записать так: 2431000 – 2383025 = 47975.
Дополнительно, при делении остатка на увеличенное в два раза значение ответа (без учета запятой), получим добавочное количество значащих цифр (47975/(2*238305) = 0.100658819…), которые следует дописать к ответу (√56789,321 = 238,305… = 238,305100659).24 Сергей:
По всей видимости алгоритм пришел из книги Исаака Ньютона “Всеобщая арифметика или книга о арифметических синтезе и анализе”. Вот выдержка из неё:
ОБ ИЗВЛЕЧЕНИИ КОРНЕЙ
Чтобы извлечь из числа квадратный корень, прежде всего следует поставить над его цифрами через одну, начиная с единиц, точки. Затем следует в частном или в корне написать цифру, квадрат которой равен или ближайший по недостатку к цифрам или цифре, предшествующим первой точке. После вычитания этого квадрата остальные цифры корня будут последовательно найдены посредством деления остатка на удвоенную величину уже извлеченной части корня и вычитания всякий раз из остатка квадрата последней найденной цифры и ее удесятеренного произведения на названный делитель.
25 Сергей:
Поправьте ещё название книги “Всеобщая арифметика или книга оБ арифметических синтезе и анализе”
26 Александр:
Спасибо за интересный материал. Но мне этот метод представляется несколько более сложным, чем нужно, например, школьнику. Я применяю более просто метод, основанный на разложении квадратичной функции с помощью первых двух производных. Формула его такая:
sqrt(x)= A1+A2-A3, где
А1 – целое число, квадрат которого ближе всего к х;
А2 – дробь, в числителе х-А1, в знаменателе 2*А1.
Для большинства чисел, встречающихся в школьном курсе, этого достаточно, чтобы получить результат с точностью до сотых.
Если нужен более точный результат, берем
А3 – дробь, в числителе А2 в квадрате, в знаменателе 2*А1+1.
Конечно, для применения нужна таблица квадратов целых чисел, но это в школе не проблема. Запомнить эту формулу достаточно просто.
Меня, правда, смущает, что А3 я получил опытным путем в результате экспериментов с электронной таблицей и не вполне понимаю, почему этот член имеет такой вид. Может, подскажете?27 Александр:
Да, я тоже рассматривал эти соображения, но дьявол кроется в деталях. Вы пишете:
“поскольку a2 и b отличаются уже довольно мало”. Вопрос именно стоит, насколько мало.
Эта формула хорошо работает на числах второго десятка и гораздо хуже (не до сотых, только до десятых) на числах первого десятка. Почему так происходит уже трудно понять без привлечения производных.28 Александр:
Я уточню, в чем я вижу преимущество предложенной мной формулы. Она не требует не вполне естественного разбиения чисел на пары цифр, которое, как показывает опыт, часто выполняется с ошибками. Смысл ее очевиден, а для человека, знакомого с анализом, тривиален. Хорошо работает на числах от 100 до 1000, наиболее часто встречающихся в школе.
29 Александр:
Кстати, я немного покопался и нашел точное выражение для А3 в моей формуле:
А3= А22 /2(A1+A2)30 vasil stryzhak:
В наше время, повсеместного использования вычислительной техники, вопрос извлечения квадратного коня из числа с практической точки зрения не стоит. Но для любителей математики, несомненно, представляют интерес различные варианты решения данной задачи. В школьной программе способ данного вычисления без привлечения дополнительных средств должен иметь место наравне с умножением и делением в столбик. Алгоритм вычисления должен быть не только запоминаемым, но и понятным. Классический метод, предоставленный в данном материале для обсуждения с раскрытием сущности, в полной мере соответствует вышеназванным критериям.
Существенным недостатком предлагаемого Александром способа является использование таблицы квадратов целых чисел. Каким большинством чисел встречающихся в школьном курсе она ограничена автор умалчивает. Что касается формулы, то в целом она мне импонирует в виду относительно высокой точностью вычисления.31 Александр:
для 30 vasil stryzhak
Я ни о чем не умолчал. Таблица квадратов предполагается до 1000. В мое время в школе ее просто заучивали наизусть и она была во всех учебниках математики. Я в явном виде назвал этот интервал.
Что до вычислительной техники, то она не применяется, в основном, на уроках математики, если только не идет специально тема применения калькулятора. Калькуляторы сейчас встроены в устройства, запрещенные к применению на ЕГЭ.32 vasil stryzhak:
Александр, спасибо за разъяснение!Я считал,что для предлагаемого метода теоретически необходимо помнить или пользоваться таблицей квадратов всех двузначных чисел.Тогда для подкоренных чисел не входящих в интервал от 100 до 10000 можно использовать прием их увеличения или уменьшения на необходимое количество порядков переносом запятой.
33 vasil stryzhak:
39 АЛЕКСАНДР:
МОЯ ПЕРВАЯ ПРОГРАММА НА ЯЗЫКЕ “ЯМБ” НА СОВЕТСКОЙ МАШИНЕ “ИСКРА 555″ БЫЛА НАПИСАНА ДЛЯ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ ЧИСЛА ПО АЛГОРИТМУ ИЗВЛЕЧЕНИЯ В СТОЛБИК! а сейчас забыл как извлекать в ручную!
Что такое квадратный корень?
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Это понятие очень простое. Естественное, я бы сказал. Математики на каждое действие стараются найти противодействие. Есть сложение - есть и вычитание. Есть умножение - есть и деление. Есть возведение в квадрат... Значит есть и извлечение квадратного корня! Вот и всё. Это действие (извлечение квадратного корня ) в математике обозначается вот таким значком:
Сам значок называется красивым словом "радикал ".
Как извлечь корень? Это лучше рассмотреть на примерах .
Сколько будет квадратный корень из 9? А какое число в квадрате даст нам 9? 3 в квадрате даст нам 9! Т.е:
А вот сколько будет квадратный корень из нуля? Не вопрос! Какое число в квадрате ноль даёт? Да сам же ноль и даёт! Значит:
Уловили, что такое квадратный корень? Тогда считаем примеры :
Ответы (в беспорядке): 6; 1; 4; 9; 5.
Решили? Действительно, уж куда проще-то?!
Но... Что делает человек, когда видит какое-нибудь задание с корнями?
Тосковать начинает человек... Не верит он в простоту и лёгкость корней. Хотя, вроде, и знает, что такое квадратный корень ...
Всё потому, что человек проигнорировал несколько важных пунктиков при изучении корней. Потом эти пунктики жестоко мстят на контрольных и экзаменах...
Пунктик первый. Корни надо узнавать в лицо!
Сколько будет корень квадратный из 49? Семь? Верно! А как вы узнали, что семь? Возвели семёрку в квадрат и получили 49? Правильно! Обратите внимание, чтобы извлечь корень из 49 нам пришлось проделать обратную операцию - возвести 7 в квадрат! И убедиться, что мы не промахнулись. А могли и промахнуться...
В этом и есть сложность извлечения корней . Возвести в квадрат можно любое число без особых проблем. Умножить число само на себя столбиком - да и все дела. А вот для извлечения корня такой простой и безотказной технологии нет. Приходится подбирать ответ и проверять его на попадание возведением в квадрат.
Этот сложный творческий процесс - подбор ответа - сильно упрощается, если вы помните квадраты популярных чисел. Как таблицу умножения. Если, скажем, надо умножить 4 на 6 - вы же не складываете четверку 6 раз? Сразу выплывает ответ 24. Хотя, не у всех он выплывает, да...
Для свободной и успешной работы с корнями достаточно знать квадраты чисел от 1 до 20. Причём туда и обратно. Т.е. вы должны легко называть как, скажем, 11 в квадрате, так и корень квадратный из 121. Чтобы добиться такого запоминания, есть два пути. Первый - выучить таблицу квадратов. Это здорово поможет решать примеры. Второй - решать побольше примеров. Это здорово поможет запомнить таблицу квадратов.
И никаких калькуляторов! Только для проверки. Иначе на экзамене будете тормозить нещадно...
Итак, что такое квадратный корень и как извлекать корни - думаю, понятно. Теперь выясним ИЗ ЧЕГО можно их извлекать.
Пунктик второй. Корень, я тебя не знаю!
Из каких чисел можно извлекать квадратные корни? Да почти из любых. Проще понять, из чего нельзя их извлекать.
Попробуем вычислить вот такой корень:
Для этого нужно подобрать число, которое в квадрате даст нам -4. Подбираем.
Что, не подбирается? 2 2 даёт +4. (-2) 2 даёт опять +4! Вот-вот... Нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дадут нам отрицательное число! Хотя я такие числа знаю. Но вам не скажу). Поступите в институт - сами узнаете.
Такая же история будет с любым отрицательным числом. Отсюда вывод:
Выражение, в котором под знаком квадратного корня стоит отрицательное число - не имеет смысла ! Это запретная операция. Такая же запретная, как и деление на ноль. Запомните этот факт железно! Или, другими словами:
Квадратные корни из отрицательных чисел извлечь нельзя!
Зато из всех остальных - можно. Например, вполне можно вычислить
На первый взгляд это очень сложно. Подбирать дроби, да в квадрат возводить... Не волнуйтесь. Когда разберёмся со свойствами корней, такие примеры будут сводиться к всё той же таблице квадратов. Жизнь станет проще!
Ну ладно дроби. Но нам ведь ещё попадаются выражения типа:
Ничего страшного. Всё то же самое. Корень квадратный из двух - это число, которое при возведении в квадрат даст нам двойку. Только число это совсем неровное... Вот оно:
Что интересно, эта дробь не кончается никогда... Такие числа называются иррациональными. В квадратных корнях это - самое обычное дело. Кстати, именно поэтому выражения с корнями называют иррациональными . Понятно, что писать всё время такую бесконечную дробь неудобно. Поэтому вместо бесконечной дроби так и оставляют:
Если при решении примера у вас получилось что-то неизвлекаемое, типа:
то так и оставляем. Это и будет ответ.
Нужно чётко понимать, что под значками
Конечно, если корень из числа извлекается ровно , вы обязаны это сделать. Ответ задания в виде, например
вполне себе полноценный ответ.
И, конечно, надо знать на память приблизительные значения:
Это знание здорово помогает оценить ситуацию в сложных заданиях.
Пунктик третий. Самый хитрый.
Основную путаницу в работу с корнями вносит как раз этот пунктик. Именно он придаёт неуверенность в собственных силах... Разберёмся с этим пунктиком как следует!
Для начала опять извлечём квадратный корень их четырёх. Что, уже достал я вас с этим корнем?) Ничего, сейчас интересно будет!
Какое число даст в квадрате 4? Ну два, два - слышу недовольные ответы...
Верно. Два. Но ведь и минус два даст в квадрате 4... А между тем, ответ
правильный, а ответ
грубейшая ошибка. Вот так.
Так в чём же дело?
Действительно, (-2) 2 = 4. И под определение корня квадратного из четырёх минус два вполне подходит... Это тоже корень квадратный из четырёх.
Но! В школьном курсе математики принято считать за квадратные корни только неотрицательные числа! Т.е ноль и все положительные. Даже термин специальный придуман: из числа а - это неотрицательное число, квадрат которого равен а . Отрицательные результаты при извлечении арифметического квадратного корня попросту отбрасываются. В школе все квадратные корни - арифметические . Хотя особо об этом не упоминается.
Ну ладно, это понятно. Это даже и лучше - не возиться с отрицательными результатами... Это ещё не путаница.
Путаница начинается при решении квадратных уравнений. Например, надо решить вот такое уравнение.
Уравнение простое, пишем ответ (как учили):
Такой ответ (совершенно правильный, кстати) - это просто сокращённая запись двух ответов:
Стоп-стоп! Чуть выше я написал, что квадратный корень - число всегда неотрицательное! А здесь один из ответов - отрицательный ! Непорядок. Это первая (но не последняя) проблемка, которая вызывает недоверие к корням... Решим эту проблемку. Запишем ответы (чисто для понимания!) вот так:
Скобки сути ответа не меняют. Просто я отделил скобками знаки от корня . Теперь наглядно видно, что сам корень (в скобках) - число всё равно неотрицательное! А знаки - это результат решения уравнения . Ведь при решении любого уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше уравнение подходит корень из пяти (положительный!) как с плюсом, так и с минусом.
Вот так. Если вы просто извлекаете квадратный корень из чего-либо, вы всегда получаете один неотрицательный результат. Например:
Потому, что это - арифметический квадратный корень .
Но если вы решаете какое-нибудь квадратное уравнение, типа:
то всегда получается два ответа (с плюсом и минусом):
Потому, что это - решение уравнения.
Надеюсь, что такое квадратный корень со своими пунктиками вы уяснили. Теперь осталось узнать, что можно делать с корнями, каковы их свойства. И какие там пунктики и подводные кор... извините, камни!)
Всё это - в следующих уроках.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
А у вас есть зависимость от калькулятора ? Или вы считаете, что кроме как с калькулятором или при помощи таблицы квадратов очень сложно вычислить, например, .
Случается, школьники привязаны к калькулятору и даже 0,7 на 0,5 умножают, нажимая на заветные кнопочки. Говорят, ну я все равно знаю как посчитать, а сейчас сэкономлю время… Вот будет экзамен… тогда и напрягусь…
Так дело в том, что на экзамене и так будет предостаточно «напряжных моментов»… Как говорится, вода камень точит. Вот и на экзамене мелочи, если их много, способны подкосить…
Давайте минимизируем количество возможных неприятностей.
Извлекаем квадратный корень из большого числа
Мы будем говорить сейчас только о случае, когда результат извлечения корня квадратного – целое число.
Случай 1.
Итак, пусть нам во что-бы то ни стало (например, при вычислении дискриминанта) нужно вычислить корень квадратный из 86436.
Мы будем раскладывать число 86436 на простые множители. Делим на 2, – получаем 43218; снова делим на 2, – получаем 21609. На 2 больше нацело число не делится. Но так как сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3 (вообще говоря, видно, что оно и на 9 делится). . Еще раз делим на 3, – получаем 2401. 2401 на 3 нацело не делится. На пять не делится (не оканчивается цифрой 0 или 5).
Подозреваем делимость на 7. Действительно, а ,
Итак, Полный порядок!
Случай 2.
Пусть нам нужно вычислить . Действовать так же, как описано выше, неудобно. Пытаемся разложить на простые множители…
На 2 число 1849 нацело не делится (не является четным)…
На 3 нацело не делится (сумма цифр не кратна 3)…
На 5 нацело не делится (последняя цифра – не 5 и не 0)…
На 7 нацело не делится, на 11 не делится, на 13 не делится… Ну и долго нам так перебирать все простые числа?
Будем рассуждать несколько иначе.
Мы понимаем, что
Мы сузили круг поиска. Теперь перебираем числа от 41 до 49. Причем ясно, что раз последняя цифра числа – 9, то останавливаться стоит на вариантах 43 или 47, – только эти числа при возведении в квадрат дадут последнюю цифру 9.
Ну и тут уже, конечно, мы останавливаемся на 43. Действительно,
P.S. А как, ксатати, мы умножаем 0,7 на 0,5?
Следует умножить 5 на 7, не обращая внимание на нули и знаки, а потом отделить, идя справа налево, два знака запятой. Получаем 0,35.
Инструкция
Подберите подкоренному числу такой множитель, вынесение которого из под корня действительно выражение - иначе операция потеряет . Например, если под знаком корня с показателем, равным трем (кубический корень), стоит число 128, то из под знака можно вынести, например, число 5. При этом подкоренное число 128 придется разделить на 5 в кубе: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Если наличие дробного числа под знаком корня не противоречит условиям задачи, то можно в таком виде. Если же нужен более простой вариант, то сначала разбейте подкоренное выражение на такие целочисленные множители, кубический корень одного из которых будет являться целым число м. Например: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.
Используйте для подбора множителей подкоренного числа , если вычислять в уме степени числа не представляется возможным. Особенно это актуально к корня м с показателем степени больше двух. Если есть доступ в интернет, то можно производить вычисления встроенными в поисковые системы Google и Nigma вычислителями. Например, если надо найти наибольший целочисленный множитель, который можно вынести из под знака кубического корня для числа 250, то перейдя на сайт Google введите запрос «6^3», чтобы проверить, нельзя ли вынести из под знака корня шестерку. Поисковик покажет результат, равный 216. Увы, 250 нельзя разделить без остатка на это число . Тогда введите запрос 5^3. Результатом будет 125, а это позволяет разбить 250 на множители 125 и 2, а значит вынести из под знака корня число 5, оставив там число 2.
Источники:
- как вынести из под корня
- Квадратный корень из произведения
Вынести из-под корня один из сомножителей необходимо в ситуациях, когда нужно упростить математическое выражение. Бывают случаи, когда выполнить нужные вычисления с помощью калькулятора невозможно. Например, если вместо чисел используются буквенные обозначения переменных.
Инструкция
Разложите подкоренное выражение на простые сомножители. Посмотрите, какой из сомножителей повторяется столько же раз, указано в показателей корня , или больше. Например, вам нужно извлечь корень из числа а в четвертой степени. В этом случае число можно представить как а*а*а*а = а*(а*а*а)=а*а3. Показателю корня в этом случае будет соответствовать сомножитель а3. Его и нужно вынести за знак .
Извлеките корень получившихся подкоренных в отдельности там, где это возможно. Извлечение корня представляет собой алгебраическое действие, обратное возведению в степень. Извлечение корня произвольной степени из числа найти такое число, которое при возведении его в эту произвольную степень даст в результате данное число. Если извлечение корня произвести нельзя, оставьте подкоренное выражение под знаком корня так, как оно есть. В результате проведения перечисленных действий вы произведете вынесение из-под знака корня .
Видео по теме
Обратите внимание
Будьте внимательны при записи подкоренного выражения в виде сомножителей – ошибка на этом этапе приведёт к неправильным результатам.
При извлечении корней удобно пользоваться специальными таблицами или таблицами логарифмических корней – этим вы значительно сократите время на нахождение правильного решения.
Источники:
- знак извлечения корня в 2019
Упрощение алгебраических выражений требуется во многих разделах математики, в том числе при решении уравнений высших степеней, дифференцировании и интегрировании. При этом используется несколько методов, включая разложение на множители. Чтобы применить этот способ, нужно найти и вынести общий множитель за скобки .
Инструкция
Вынесение общего множителя за скобки – один из самых распространенных способов разложения . Этот прием применяется для упрощения структуры длинных алгебраических выражений, т.е. многочленов. Общим может быть число, одночлен или двучлен, а для его поиска применяется распределительное свойство умножения.
Число.Посмотрите внимательно на коэффициенты при каждом многочлена, можно ли разделить их на одно и то же число. Например, в выражении 12 z³ + 16 z² – 4 очевидным является множитель 4. После преобразования получится 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Иными , это число является наименьшим общим целочисленным делителем всех коэффициентов.
Одночлен.Определите, ли одна и та же переменная в каждый из слагаемых многочлена. Предположим, что это так, теперь посмотрите на коэффициенты, как в предыдущем случае. Пример: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.
Каждый элемент этого многочлена содержит переменную z. Кроме того, все коэффициенты – числа, кратные 3. Следовательно, общим множителем будет одночлен 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).
Двучлен.За скобки общий множитель из двух , переменной и числа, которое является общего многочлена. Поэтому, если множитель -двучлен неочевиден, то нужно найти хотя бы один корень. Выделите свободный член многочлена, это коэффициент без переменной. Теперь примените метод подстановки в общее выражение всех целочисленных делителей свободного члена.
Рассмотрите : z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Проверьте, не является ли какой-либо из целых делителей числа 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Путем простой подстановки найдите z1 = 1 и z2 = 2, значит, за скобки можно вынести двучлены (z - 1) и (z - 2). Для того, чтобы найти оставшееся выражение, воспользуйтесь последовательным делением в столбик.
