5. Лицемер! вынь прежде бревно из твоего глаза и тогда увидишь, как вынуть сучок из глаза брата твоего. (Лк. 6:42). Обращает на себя внимание прежде всего слово "лицемер". Оно дает некоторым толкователям повод предполагать, что Спаситель здесь возвращается к прежней Своей речи

на тему:

«Редуцированный глаз. Преломляющая и оптическая сила. Определение фокусного расстояния»

Выполнил: Кильмямятов Денис

Саранск 2013

Редуцированный глаз

Существует несколько схем редуцированного глаза.

мы приводим данные редуцированного глаза по Вербицкому, наиболее близкие к данным глаза по Гульстранду. В редуцированном глазе только одна преломляющая поверхность-роговица, и весь глаз наполнен однородной средой с одним показателем преломления nr. Именно поэтому обе узловые точки слипаются в одну, совпадающую с центром кривизны роговицы. Главные плоскости тоже сливаются в одну, и одна главная точка совпадает с вершиной роговицы.

Построение изображения для редуцированного глаза

Построение изображения в редуцированном глазе

упрощается тем, что точку В" мы получаем простым проведением прямой через точки В и N. Для y" и мы получаем формулы, аналогичные формулам (10) и (11); но отрезку l" можно теперь придать определенный смысл. Из табл. 2 видно, что вычисленное выше значение l" = 16,6 мм близко в редуцированном глазе к переднему фокусному расстоянию f, взятому с обратным знаком. Есть некоторая разница (0,4 мм), но она, как мы сейчас увидим, неслучайна. По законам геометрической оптики параксиальное изображение точки А должно образоваться на оси системы в точке, лежащей на расстоянии f" от второй главной точки. В редуцированном глазе вторая главная точка совпадает с первой и лежит в вершине роговицы. От нее и нужно отсчитывать расстояниеf". Но f" = 23,8 мм, а вся длина глаза 23,4. Значит, параксиальное изображение точки А оказывается за сетчаткой, как раз на 0,4 мм дальше сетчатки. Можно подумать, что в построении редуцированного глаза допущена какая-то ошибка. Дело, однако, в том, что в своих рассуждениях мы дважды подчеркнули, что рассматриваются параксиальные лучи, т. е. лучи, проходящие близко к оси системы. Только они, проходя параллельно оси системы, сходятся в главном фокусе. Лучи, прошедшие дальше от оси, сходятся ближе фокуса вследствие сферической аберрации. Поэтому наиболее четкое изображение получается не в фокальной плоскости, а несколько ближе - в плоскости наилучшей фокусировки, вблизи которой и располагается лежащая на сетчатке точка А".

Таким образом, разность l и |f| лежит в пределах той погрешности, которую мы допускаем, заменяя оптику широких пучков параксиальным приближением. Поэтому формулы (10) и (11) можно заменить формулами

y" = αf (12)

βy = -f/l (13)

При приближении предмета к глазу, т. е. при значительном уменьшении абсолютного значения l, формулы (12) и (13) уже не могут применяться. Удержание изображения на сетчатке оказывается возможным только путем увеличения оптической силы, или, как ее еще называют, рефракции глаза F. В реальном глазе это осуществляется увеличением кривизны поверхностей хрусталика. Обозначим аккомодационную добавку к рефракции глаза

▲F = l/|l| (14)

Формально ▲F = 0 только при |l| = ∞. Фактически аккомодацией можно пренебречь уже при |l| ≥ 5 м, т. е. пренебречь вменением рефракции глаза на 0,2 дптр. В редуцированном глазе аккомодация учитывается формальным приемом: по Вербицкому на каждую диоптрию добавочной рефракции нужно увеличивать показатель преломления глазной среды на 0,004, а радиус Кривизны роговицы, уменьшать на 0,04 мм. Пусть, например, l = - 25 см., т. е. |l| = 0,25 м, а ▲F = 4 дптр. При этом

n"r = 1,40 + 4 0,004 = 1,416;

r" = 6,8 - 4 0,04 = 6,64 мм.

Поскольку в редуцированном глазе только одна преломляющая поверхность, мы можем воспользоваться выведенной для этого случая формулой

где расстояния от вершины роговицы до предмета и до eго изображения обозначены соответственно l и l"r. Поскольку

Подставив в формулы (16) и (18) значения величии для F = 4 дптр, получим f"= 22,60 мм и l"r = 24,1 мм. Введем величину ▲l, изменение которой характеризует смещение изображения при аккомодации: ▲l = l"r - lr, где lr - длина глаза по Вербицкому. При ▲F = 4 дптр ▲l = 0,7 мм, что заметно больше, чем при покое аккомодации, когда ▲l = 0,4 мм, т. е. изображение смещается на 0,3 мм. Таким образом, предложенный Вербицким способ учета аккомодации при значительной сложности дает малую точность расчета. Для учета аккомодации можно предположить более простой способ, который обеспечивает, кроме того, значительно меньшее изменение ▲l: при увеличении аккомодации на одну диоптрию уменьшать радиус роговицы на 0,1 мм, а показатель преломления сохранять постоянным и равным 1,40, т. е. в формулах (15) - (18) считать n"r = nr = 1,40. Результат такого расчета разности ▲l с помощью формул (16) и (18) приведен в табл. 3.

Аккомодация редуцированного глаза

Видно, что ▲l изменяется только в пределах 0,1 мм, а не 0,3 мм, как дают расчеты по Вербицкому.

Аберрации глаза

Как и всякой оптической системе, глазу присущи аберрации. Об одной из них - сферической аберрации мы уже упоминали. Сейчас следует сказать об аберрациях глаза несколько подробнее.

Аберрациями любой системы , дающей изображение, называются искажения, приводящие к тому, что изображение оказывается не вполне подобным геометрической проекции предмета на плоскость (или поверхность иной формы) и что каждая точка предмета изображается не точкой, а пятном с довольно сложным распределением яркости в нем.

На оси системы наблюдаются сферическая и хроматическая аберрации . Схема сферической аберрации изображена на рис.:

Схема сферической аберрации

чем дальше от оси проходит параллельный ей луч, тем ближе к линзе пересекает он ось. Наиболее удаленные от оси лучи пройдут от нее па расстоянии h = D/2, где D - диаметр входящего в линзу пучка, и собeрутся в точке Аh, лежащей на расстоянии ▲f" от точки А - фокуса параксиальных лучей. Отрезок ▲f" называется продольной сферической аберрацией, выраженной в единицах длины.

Однако обычно продольную сферическую аберрацию выражают г. диоптриях и вычисляют по формуле

Здесь длину отрезков нужно брать в метрах. Если ▲f" ≪ f", формулу можно упростить:

Показатель преломления nr зависит от длины волны света. Поэтому, если на линзу падает белый свет, лучи разных цветов соберутся в разных местах: фиолетовые соберутся ближе всего к линзе. В любом месте вместо белой точки будет получаться пятно, и притом не белое, а окрашенное. Снова можно провести расчет, аналогичный расчету по формуле (19), и получить значение хроматической аберрации Axp.

Для любой точки, лежащей не на оси системы, приходится учитывать и другие аберрации. Лучи, лежащие в меридиональной плоскости, собираются в отрезок прямой на одном расстоянии от линзы, а лучи, лежащие в саггитальной плоскости (а плоскости, проходящей через ось пучка и перпендикулярной меридиональной плоскости), - в отрезок на другом расстоянии от линзы, перпендикулярный первому отрезку. В любом месте изображение точки получается в виде размытого несимметричного пятна. Эта аберрация называется астигматизмом косых пучков .

На какой-то поверхности эти размытия наименьшие, и именно здесь следует помещать экран, чтобы получить наиболее четкое изображение. Как правило, такая поверхность - не плоская, что очень неудобно во многих случаях, например для фотографирования, где поверхность кадра должна быть плоской. Отклонение поверхности наилучшей фокусировки от плоскости называется кривизной поля.

Существуют еще аберрации, искажающие форму всего изображения. Важнейшая из них - дисторсия - изменение увеличения при удалении от оптической оси системы.

Каковы же аберрации глаза ? По данным Иванова при зрачке 4 мм сферическая аберрация глаза Асф = 1 дптр. То же значение имеет и хроматическая аберрация. Много это или мало? Поскольку рефракция глаза около 60 дптр, относительная погрешность рефракции глаза составляет менее двух процентов.

Точнее аберрации оцениваются степенью их влияния на разрешающую силу глаза или, как ее обычно называют, на остроту зрения. Острота зрения V обратно пропорциональна угловому пределу разрешения:

V= l/δ; (21)

δ, как правило, выражается в минутах. V - величина безразмерная.

Врачи обычно считают нормой V = 1. В действительности V зависит от многих условий, прежде всего от яркости фона l.

Диаметр зрачка тоже зависит от разных факторов, даже от эмоций человека. Но все же в основном диаметр зрачка dr зависит от яркости. В среднем эта зависимость выражается формулой

где th - тангенс гиперболический; dr - получается в миллиметрах.

Подробно об остроте зрения мы будем говорить дальше. Сейчас скажем только, что при яркости L = 20 кд/м2 dr = 3,7 мм и δ = 0,64". Если мы обратимся к дифракционной формуле (3) и посчитаем δ при d = 0,37 см, то, переводя радианы в минуты (l" = 2,91 10-4), получим практически ту же величину δ = 0,63. Таким образом, фактически острота зрения ограничивается не аберрациями, а дифракцией. Именно такое требование и ставится к современным, хорошо исправленным объективам: их разрешающая сила, во всяком случае в центре поля зрения, должна быть дифракционной. Дальше исправление аберраций уже не помогает увеличить разрешающую силу.

Хроматическая аберрация , примерно равная сферической, как будто более опасна: она дает не просто пятно рассеяния, а окрашенное пятно. Однако в повседневной жизни мы никогда не замечаем цветных каемок вокруг видимых предметов. Их можно обнаружить только в специально поставленных опытах. Хроматическую аберрацию легко исправить поставленной перед глазом линзой с хроматической аберрацией обратного знака. Неоднократно проводились эксперименты с линзами такого рода. Однако применение их практически не изменяло ни остроты зрения глаза, ни вида находящихся в поле зрения предметов. Делались попытки исправить линзами также сферическую аберрацию глаза. И в этом случае улучшения остроты зрения не наблюдалось.

Следует заметить, что если просчитать ход лучей в схематическом глазе по Гульстранду, мы получим сферическую аберрацию, превышающую ту, которая наблюдается в реальном глазе. Объясняется это тем, что Гульстранд считал радиус кривизны роговицы постоянным, а в действительности в периферической зоне роговицы радиус кривизны больше, чем в центральной. Увеличение радиуса приводит к уменьшению преломляющей силы , т. е. к увеличению фокусного расстояния [см. формулу (16)] и, следовательно, к приближению фокуса крайних лучей к фокусу лучей параксиальных. В недавнее время и в технике стали применять линзы с асферическими поверхностями, хотя точное изготовление их сопряжено с большими трудностями.

Таким образом, оптическая система глаза исправлена достаточно хорошо, чтобы полностью использовать все возможности, предоставляемые волновой природой света.

Преломление в глазе

Глаз является оптическим эквивалентом обычной фотографической камеры. В нем есть система линз, апертурная система (зрачок) и сетчатка, на которой фиксируется изображение.

Система линз глаза сформирована из четырех преломляющих сред: роговицы, водяной камеры, хрусталика, стеклянного тела. Показатели их преломления не имеют значительных отличий. Они составляют 1,38 для роговицы, 1,33 для водяной камеры, 1,40 для хрусталика и 1,34 для стекловидного тела (рис. 2).

Рис. 2. Глаз как система преломляющих сред (числа являются показателями преломления)

В этих четырех преломляющих поверхностях происходит преломление света: 1) между воздухом и передней поверхностью роговицы; 2) между задней поверхностью роговицы и водяной камерой; 3) между водяным камерой и передней поверхностью хрусталика; 4) между задней поверхностью хрусталика и стекловидным телом.

Наиболее сильное преломление происходит на передней поверхности роговицы. Роговица имеет небольшой радиус кривизны, и показатель преломления роговицы в наибольшей степени отличается от показателя преломления воздуха.

Преломляющая способность хрусталика меньше, чем у роговицы. Она составляет около одной трети общей преломляющей мощности систем линз глаза. Причина этого различия в том, что жидкости, окружающие хрусталик, имеют показатели преломления, которые существенно не отличаются от показателя преломления хрусталика. Если хрусталик удалить из глаза, окруженный воздухом он имеет показатель преломления почти в шесть раз больший, чем в глазе.

Хрусталик выполняет очень важную функцию. Его кривизна может изменяться, что обеспечивает тонкое фокусирование на объекты, расположенные на различных расстояниях от глаза.

Редуцированный глаз является упрощенной моделью реального глаза. Он схематически представляет оптическую систему нормального глаза человека. Редуцированный глаз представлен единственной линзой (одной преломляющей средой). В редуцированном глазе все преломляющие поверхности реального глаза суммируются алгебраически, формируя единственную преломляющую поверхность.

Редуцированный глаз позволяет провести простые вычисления. Общая преломляющая способность сред составляет почти 59 диоптрий, когда линза аккомодирована на зрение отдаленных объектов. Центральная точка редуцированного глаза лежит впереди сетчатки на 17 миллиметров. Луч из любой точки объекта приходит в редуцированный глаз и проходит через центральную точку без преломления. Так же, как стеклянная линза формирует изображение на листе бумаги, система линз глаза образует изображение на сетчатке. Это уменьшенное, действительное, перевернутое изображение объекта. Головной мозг формирует восприятие объекта в прямом положении и в реальном размере.